Участник:Yulya3102/Матан — различия между версиями

Версия 02:00, 26 июня 2012

В списках - незапиленные темы. Выбираем вопрос, пилим, убираем из списка.

Я за вами слежу. Вандалы будут выебаны в жопу. А за поней будет выебан Юрик.

Содержание

1 Основные вопросы
2 Определения и факты

Основные вопросы

Список

Жирным отмечены вопросы, по которым написана только формулировка. В «доказательстве» написана страница Виноградова, откуда это взято. Кому не лень, запиливайте

Дифференцирование разложений Тейлора
Иррациональность числа e
Теорема о свойствах неопределенного интеграла
Теорема о разложении рациональной дроби на простейшие
Предел римановых сумм
Интегрируемость модуля интегрируемой функции
Интегрируемость произведения
Интегрируемость частного
Ослабленный критерий Лебега. Следствие
Иррациональность числа пи
Неравенство Чебышева для функций и конечных последовательностей
Теорема о формуле трапеций
Формула Эйлера - Маклорена
Формула Стирлинга
Свойства несобственного интеграла: аддитивность, линейность, монотонность, интегрирование по частям
Признак сравнения сходимости несобственного интеграла
Теорема об абсолютной сходимости
Исследование интеграла sin(x)/x^p на абсолютную и условную сходимость
Теорема о вычислении аддитивной функции промежутка по плотности
Площадь и ее свойства: монотонность, усиленная аддитивность.
Площадь подграфика.
Площадь криволинейного сектора в полярных координатах
Площадь криволинейного сектора для параметрически заданной кривой
Изопериметрическое неравенство
Усиленная теорема о плотности
Вычисление длины пути. Длина графика
Необходимое условие сходимости, критерий Больцано--Коши
Признак сравнения сходимости положительных рядов
Признак Коши
Признак Даламбера
Признак Раабе
Теорема об абсолютно сходящихся рядах
Теорема о группировке слагаемых ряда. Замечание о ряде с "ограниченными" скобками
Теорема о произведении рядов
Теорема Стокса--Зайдля о непрерывности предела последовательности функций
Теорема об предельном переходе под знаком интеграла
Теорема о предельном переходе под знаком производной

Правило Лопиталя

Правило Лопиталя для неопределенностей вида 0/0

Теорема:

Пусть:

,

функции f и g дифференцируемы на (a, b),

[math]g'(t) \ne 0[/math] для любого [math]t \in (a, b)[/math],

и существует предел .

Тогда предел также существует и равен A.

Доказательство:

1. Пусть [math]a \in \mathbb{R}[/math]. Доопределим функции в точке a нулём: [math]f(a) = g(a) = 0[/math]. Тогда доопределенные функции f и g будут непрерывны на [a, b). Возьмем последовательность , и докажем, что . Функции f и g удовлетворяют условиям теоремы Коши на каждом отрезке [math][a, x_n][/math]. Поэтому для любого [math]n \in \mathbb{N}[/math] найдется такая точка [math]c_n \in (a, x_n)[/math], что

.

По теореме о сжатой последовательности [math]c_n \to a[/math]. По определению правостороннего предела на языке последовательностей , а тогда в силу произвольности [math] \{x_n\}[/math] и .

2. Пусть [math]a = -\infty[/math]. В силу локальности предела можно считать, что b < 0. Положим . Тогда

,

.

По доказанному

.

Правило Лопиталя для неопределенностей вида inf/inf

Теорема:

Пусть:

,

функции f и g дифференцируемы на (a, b),

[math]g'(t) \ne 0[/math] для любого [math]t \in (a, b)[/math],

и существует предел .

Тогда предел также существует и равен A.

Доказательство:

1. Пусть [math]A = 0[/math]. Возьмем последовательность [math]\{x_n\}[/math] со свойствами: [math]x_n \in (a, b), x_n \to a[/math], и докажем, что . Зафиксируем число [math]\sigma \gt 0[/math]. По условию найдется такое [math]y \in (a, b)[/math], что для любого [math]c \in (a, y)[/math] будет [math]g(c) \ne 0[/math] и . Начиная с некоторого номера [math]x_n \in (a, y)[/math], поэтому можно считать, что [math]x_n \in (a, y)[/math] для всех n. По теореме Коши для любого n найдется такое [math]c_n \in (x_n, y)[/math], что

.

Учитывая еще, что [math]g(x_n) \to \infty[/math], находим

.

Поэтому . Но, так как [math]\sigma[/math] произвольно, , а значит, и .

2. Пусть [math]A \in \mathbb{R}[/math] произвольно. Положим [math]h = f - Ag[/math]. Тогда

.

По доказанному , то есть .

3. Случай рассматривается аналогично случаю . При этом вместо используется неравенство и доказывается, что . Случай разбирается аналогично или сводится к случаю переходом к функции .

Замечание о представимости функции рядом Тейлора

Теорема (достаточное условие представимости функции рядом Тейлора):

Для представимости функции ее рядом Тейлора в инетрвале , достаточно выполнения следующего равенства:

при .

Доказательство:

Выберем произвольно и зафиксируем [math]x\in(a-R,a+R)[/math]. Из [math]f(x)=T_n(x)+R_n(x)[/math] следует, что

,

т.е. равна пределу частичных сумм ряда Тейлора, и поэтому функция является суммой ее ряда Тейлора.

Дифференцирование разложений Тейлора

Ну приблизительно: Типа если мы продифференцируем формулу Тейлора для какой-то функции, то получим формулу Тейлора для её производной

Иррациональность числа е

Виноградов, том 1, 213

Критерий монотонности и строгой монотонности

Критерий монотонности функции

Теорема:

Пусть функция f непрерывна на и дифференцируема на . Тогда f возрастает (убывает) на в том и только в том случае, когда .

Доказательство:

1. Необходимость. Пусть f возрастает. Возьмем [math]x \in (a, b)[/math]. Тогда , поэтому

.

2. Достаточность. Пусть . Возьмем , и докажем, что [math]f(x_1) \le f(x_2)[/math]. По теореме Лагранжа [math]\exists c \in (x_1, x_2)[/math]:

.

Случай убывающей функции сводится к рассмотренному переходом к функции .

Следствие: критерий постоянства функции

Теорема:

Пусть . Тогда f постоянна на в том и только том случае, когда и .

Доказательство:

То, что производная постоянной функции равна нулю, известно. Обратно, если и , то по критерию монотонности функции функция одновременно возрастает и убывает, то есть постоянна на .

Критерий строгой монотонности функции

Теорема:

Пусть функция f непрерывна на и дифференцируема на . Тогда f строго возрастает на в том и только в том случае, когда:

1) ;

2) не обращается в нуль тождественно ни на каком интервале.

Доказательство:

По критерию постоянства функции условие 2) означает, что [math]f[/math] не постоянна ни на каком интервале. Поэтому из строгого возрастания [math]f[/math] вытекает утверждение 2), а утверждение 1) верно по критерию монотонности функции.

Пусть теперь выполнены утверждения 1) и 2). Из неотрицательности производной следует возрастание . Если возрастание нестрогое, то . Тогда постоянна на , что противоречит условию 2).

Теорема о необходимом и достаточном условии экстремума

Теорема (Необходимое условие экстремума):

Пусть - точка экстремума дифференцируема в точке . Тогда

Доказательство:

По определению точки экстремума или

Остается применить теорему Ферма к функции

Лемма о трех хордах

Лемма:

Пусть функция выпукла вниз на , . Тогда .

Доказательство:

По определению выпуклости

,

где . Преобразуем неравенство двумя способами. С одной стороны,

,

что равносильно левому неравенству в лемме. С другой стороны,

,

что равносильно правому неравенству в лемме.

Теорема об односторонней дифференцируемости выпуклой функции

Теорема:

Пусть функция выпукла вниз на . Тогда для любой точки конечные .

Доказательство:

Возьмем [math]x \in (a, b)[/math] и положим

.

По лемме о трех хордах g возрастает на . Поэтому, если , то [math]g(\xi) \le g(\eta)[/math], то есть

.

Следовательно, g ограничена на сверху, а на - снизу. По теореме о пределе монотонной функции существуют конечные пределы и , которые по определению являются односторонними производными и . Устремляя к слева, а - справа, получаем, что .

Следствие о точках разрыва производной выпуклой функции

Теорема:

Если функция выпукла на , то она непрерывна на . Замечание: на концах промежутка выпуклая функция может испытывать разрыв.

Доказательство:

Непрерывность следует из существования конечных односторонних производных слева и справа в каждой точке .

Описание выпуклости с помощью касательных

Теорема:

Пусть функция f дифференцируема на . Тогда f выпукла вниз на в том и только том случае, когда график f лежит не ниже любой своей касательной, то есть .

Доказательство:

1. Необходимость. Пусть f выпукла вниз, .

Если [math]x \gt x_0[/math], то по лемме о трех хордах [math]\forall \eta \in (x_0, x)[/math]

.

Устремляя [math]\eta[/math] к [math]x_0[/math] справа, получаем неравенство

,

равносильное неравенству в теореме.

Если [math]x \lt x_0[/math], то по лемме о трех хордах [math]\forall \xi \in (x,x_0)[/math]

.

Устремляя [math]\xi[/math] к [math]x_0[/math] слева, получаем неравенство

,

равносильное неравенству в теореме.

2. Достаточность. Пусть верно неравенство в теореме. Возьмем . Применяя данное неравенство дважды: сначала к точкам [math]x_1[/math] и [math]x[/math], а затем - к [math]x_2[/math] и [math]x[/math], получаем

,

что равносильно

.

Крайние части и составляют неравенство, равносильное неравенству из определения выпуклости.

Дифференциальный критерий выпуклости

Теорема:

1. Пусть функция непрерывна на и дифференцируема на . Тогда (строго) выпукла вниз на в том и только том случае когда (строго) возрастает на .

2. Пусть функция непрерывна на и дважды дифференцируема на . Тогда выпукла вниз на в том и только том случае, когда .

Доказательство:

1. Необходимость. Возьмем . По теореме об односторонней дифференцируемости выпуклой функции

,

что и означает возрастание [math]f'[/math].

Достаточность. Возьмем , и [math]x\in(x_1,x_2)[/math]. По теореме Лагранжа

Тогда , а [math]f'[/math] по условию возрастает, поэтому [math]f'(c_1)\le f'(c_2)[/math], то есть

,

что равносильно неравенству из определения выпуклости.

Если [math]f[/math] строго выпукла вниз, то оба неравенства в доказательстве необходимости строгие. Обратно, если [math]f'[/math] строго возрастает, то неравенство в доказательстве достаточности строгое, что влечет выпуклость [math]f[/math].

2. По пункту 1 выпуклость равносильна возрастанию , которое по критерию монотонности равносильно неотрицательности .

Неравенство Йенсена

Теорема:

Пусть функция выпукла вниз на . Тогда и

Замечание 1. Числа [math]p_k[/math] называются весами, а отношение - взвешенным средним (арифметическим) чисел [math]x_1,...,x_n[/math]. Если все [math]p_k=1[/math], то взвешенное среднее есть обычное среднее арифметическое . Неравенство Йенсена можно сформулировать так: значение выпуклой вниз функции от взвешенного среднего не превосходит взвешенного среднего значений функции.

Замечание 2. Не уменьшая общности, можно считать, что . При этом условии неравенство Йенсена принимает вид

.

Действительно, для произвольных положительных положим . Тогда неравенство Йенсена для весов и выглядит одинаково, а .

Доказательство:

Пусть . Положим .

Сразу отметим, что если [math]x_1=...=x_n[/math], то [math]x^*[/math] с ними совпадает, а неравенство Йенсена обращается в равенство.

Пусть среди чисел [math]x_1,...,x_n[/math] есть различные.

Проверим, что [math]x^*\in(a,b)[/math]. Действительно, хоть одно из чисел [math]x_k[/math] меньше [math]b[/math], поэтому

.

Аналогично доказывается, что [math]x^*\gt a[/math].

В точке [math]x^*[/math] у функции [math]f[/math] существует опорная прямая; пусть она задается уравнением [math]\ell(x)=\alpha x+\beta[/math]. По определению опорной прямой [math]\ell(x^*)=f(x^*)[/math] и . Поэтому

Неравенство Гельдера

Теорема:

Пусть или . Тогда .

Доказательство:

Так как ,

достаточно доказать неравенство Гельдера для чисел . Поэтому, не уменьшая общности, можно считать, что [math]a_k,b_k\in\mathbb{R}_+[/math]. Более того, можно считать, что все [math]b_k\gt 0[/math]. Действительно, если неравенство Гельдера доказано для положительных чисел [math]b_k[/math], то

Итак, пусть . Функция [math]f(x)=x^p[/math] строго выпукла вниз на [math][0,+\infty)[/math]. Положим и применим неравенство Йенсена:

.

Учитывая, что получаем:

Остается возвести обе части неравенства в степень и воспользоваться тем, что

Неравенство Минковского

Теорема:

Пусть или . Тогда .

Доказательство:

При [math]p=1[/math] неравенство Минковского сводится к неравенству треугольника для модуля. Пусть [math]p\gt 1,\ q={p\over p-1}[/math]. Обозначим . Применим неравенство треугольника, а затем неравенство Гёльдера:

Если , то неравенство Минковского очевидно, а если , то, сокращая на , получаем требуемое.

Неравенство Коши

Теорема (Монотонность средних степенных):

Пусть при при . Тогда , причем равенство имеет место лишь при . В частности,

.

Это неравенство называется неравенством Коши между средним геометрическим и средним арифметическим.

Доказательство:

1. Пусть [math]0\lt r\lt s[/math]. Поскольку [math]{s\over r}\gt 1[/math], функция [math]f(x)=x^{s/r}[/math] строго выпукла вниз на [math][0,+\infty)[/math]. Применим к ней неравенство Йенсена, взяв [math]p_k=1,\ x_k=a^r_k[/math]. Получим

,

причем в силу строгой выпуклости равенство достигается лишь при [math]a_1=...=a_n[/math]. Остается возвести обе части в степень [math]1\over s[/math].

2. Пусть [math]r=0,s=1[/math], то есть докажем неравенство Коши. Если среди [math]a_k[/math] есть нуль, то неравенство очевидно выполняется и обращается в равенство лишь если все [math]a_k[/math] суть нули. Пусть [math]a_1,...,a_n\gt 0[/math]. Применим неравенство Йенсена к строго выпуклой вверх функции [math]\ln[/math], взяв [math]p_k=1,\ x_k=a_k[/math]. Получим

,

что равносильно неравенству Коши, причем в силу строгой выпуклости равенство достигается лишь при [math]a_1=...a_n[/math].

3. Если [math]r=0\lt s[/math], то по доказанному неравенству Коши

4. Если [math]r\lt s\le0[/math], то [math]0\le-s\lt -r[/math], и по доказанному

5. Если , то

Теорема о свойствах неопределенного интеграла

Теорема (О свойствах неопределённого интеграла):

Пусть функции имеют первообразные, . Тогда

1. Функция [math] f + g [/math] имеет первообразную и ;

2. Функция имеет первообразную и при .

Доказательство:

Виноградов, том 1, стр. 254

Теорема о разложении рациональной дроби на простейшие

Лемма о свойствах сумм Дарбу

Теорема:

1. (грани берутся по всевозможным оснащениям дробления ).

2. При добавлении новых точек дробления верхняя сумма не увеличится, а нижняя - не уменьшится.

3. Каждая нижняя сумма Дарбу не превосходит каждой верхней (даже отвечающей другому дроблению).

Доказательство:

1. Для определенности докажем утверждение о верхних суммах. Очевидно, что . Умножая эти неравенства на [math]\Delta x_k[/math] и суммируя по [math]k[/math], получаем неравенство [math]\sigma\le S[/math], то есть [math]S[/math] - верхняя граница для интегральных сумм Римана. Докажем, что эта верхняя граница точная.

Пусть [math]f[/math] ограничена сверху на [math][a,b][/math]. Возьмем [math]\epsilon\gt 0[/math] и для каждого [math]k[/math] по определению верхней грани подберем . Тогда

.

Так как [math]\epsilon[/math] произвольно, [math]S[/math] - точная верхняя граница.

Пусть [math]f[/math] не ограничена сверху на [math][a,b][/math]. Тогда [math]\exists \nu:\ f[/math] - не ограничена сверху на [math][x_\nu,x_{\nu+1}][/math]. Возьмем [math]A\gt 0[/math] и выберем точки [math]\xi^*_k[/math] при [math]k\ne\nu[/math] произвольно, а [math]\xi^*_\nu[/math] - так, чтобы

.

Тогда

.

Так как [math]A[/math] произвольно, .

2. Для определенности докажем утверждение о верхних суммах. В силу принципа математической индукции достаточно проверить, что верхняя сумма не увеличится при добавлении одной новой точки дробления. Пусть дробление [math]T[/math] получено из дробления [math]\tau=\{x_k\}^n_{k=0}[/math] добавлением точки [math]c\in(x_\nu,x_{\nu+1})[/math]. Тогда

,

где . Поскольку при сужении множества его супремум не увеличивается, [math]M'\le M_\nu[/math] и [math]M''\le M_\nu[/math]. Поэтому

3. Неравенство [math]s_\tau\le S_\tau[/math] между суммами для одного и того же дробления [math]\tau[/math] тривиально. Пусть [math]\tau_1[/math] и [math]\tau_2[/math] - два дробления отрезка [math][a,b][/math]. Докажем, что [math]s_{\tau_1} \le S_{\tau_2}[/math]. Положим [math]\tau=\tau_1\cup\tau_2[/math]. Тогда по свойству 2

Критерий интегрируемости Римана

Теорема (Критерий интегрируемости функции):

Пусть . Тогда в том и только том случае, когда , то есть

Доказательство:

1. Необходимость. Пусть [math]f\in R[a,b][/math]. Обозначим [math]I=\int^b_af[/math]. Возьмем [math]\epsilon\gt 0[/math] и подберем такое [math]\delta\gt 0[/math] из определения предела интегральных сумм, что для любого оснащенного дробления [math](\tau,\xi)[/math], ранг которого меньше [math]\delta[/math],

Переходя к супремуму и инфимуму по [math]\xi[/math], в силу свойства 1 получаем:

,

откуда

2. Достаточность. Пусть . Тогда все суммы [math]S_\tau[/math] и [math]s_\tau[/math] конечны.

,

поэтому

Так как правая часть последнего неравенства принимает сколь угодно малые значения, [math]I_*=I^*[/math]. Обозначим общее значение [math]I_*[/math] и [math]I^*[/math] через [math]I[/math] и докажем, что . Из неравенств

следует, что

По можно подобрать такое , что для любого дробления , ранг которого меньше , будет , а тогда для любого оснащения такого дробления

Теорема (Критерий интегрируемости Римана):

Пусть Тогда в том и только том случае, когда

Интегрируемость на меньшем параллелепипеде

Теорема (Интегрируемость функции и ее сужения):

1. Если , то 2. Если интегрируема на и на , то

Доказательство:

1. Проверим выполнение условия интегрируемости [math]f[/math] на отрезке [math][\alpha,\beta][/math]. Возьмем [math]\varepsilon\gt 0[/math] и подберем [math]\delta\gt 0[/math] из критерия интегрируемости [math]f[/math] на [math][a,b][/math]: если ранг дробления [math]\tau[/math] отрезка [math][a,b][/math] меньше [math]\delta[/math], то . Покажем, что это [math]\delta[/math] подходит и для критерия интегрируемости [math]f[/math] на [math][\alpha,\beta][/math]. Пусть [math]\tau_0[/math] - дробление . Возьмем какие-нибудь дробления отрезков [math][a,\alpha][/math] и [math][\beta,b][/math] (если эти отрезки невырожденные) ранга, меньшего [math]\delta[/math], и объединим их с [math]\tau_0[/math]. Получим дробление [math]\tau=\{x_k\}^n_{k=0}[/math] отрезка [math][a,b][/math]:

причем [math]\lambda_\tau\lt \delta[/math]. Тогда

2. Проверим выполнение условия интегрируемости [math]f[/math] на отрезке [math][a,b][/math]. Не умаляя общности, можно считать, что [math]f[/math] не постоянна, то есть что . Возьмем [math]\varepsilon\gt 0[/math]. По критерию интегрируемости подберем такие [math]\delta_1\gt 0[/math] и [math]\delta_2\gt 0[/math], что для любых дроблений [math]\tau_1[/math] отрезка [math][a,c][/math] и [math]\tau_2[/math] отрезка [math][c,b][/math], удовлетворяющих условиям , выполняются неравенства

Положим . Пусть [math]\tau[/math] - дробление . Точка [math]c[/math] не обязана принадлежать [math]\tau[/math]; пусть [math]c\in[x_\nu,x_{\nu+1}).[/math] Обозначим

Тогда по выбору [math]\delta[/math]

Аддитивность интеграла

Теорема (Аддитивность интеграла по отрезку):

Если , то .

Доказательство:

Пусть [math]a\lt c\lt b,\ f\in R[a,b][/math]. Тогда по теореме об интегрируемости функции и ее сужения [math]f\in R[a,c][/math] и [math]f\in R[c,b][/math]. Пусть - последовательности оснащенных дроблений отрезков [math][a,c][/math] и [math][c,b][/math] на [math]n[/math] равных частей, и [math]\sigma_n[/math] - соответствующие последовательности интегральных сумм. Тогда

Остается перейти к пределу при [math]n\to+\infty.[/math]

Если [math]a\lt b\lt c[/math], то по доказанному

Если [math]a=b[/math], то

Остальные случаи разбираются аналогично.

Предел римановых сумм

Линейность интеграла

Теорема:

Если , то

Доказательство:

Интегрируемость [math]\alpha f+\beta g[/math] следует из теоремы об арифметических действиях над интегрируемыми функциями. Остается перейти к пределу в равенстве

Монотонность интеграла

//и другие свойства, нужные при доказательстве теорем

Теорема (Монотонность интеграла (свойство 4)):

Если , то .

Доказательство:

Для доказательства нужно перейти к пределу в неравенстве .

Теорема (Следствие 1):

Пусть Если , то

[math]\int_a^bf\le M(b-a),[/math]

а если [math]m\in\mathbb{R},\ f\ge m[/math], то

[math]\int_a^bf\ge m(b-a)[/math].

В частности, если [math]f\in R[a,b],\ f\ge0[/math], то

.

Теорема (Свойство 5):

Пусть непрерывна в . Тогда

Доказательство:

Возьмем и по определению непрерывности [math]f[/math] в точке [math]x_0[/math] подберем .

Обозначим . По следствию 1 из свойства монотонности

Замечание 1. Без условия непрерывности [math]f[/math] в точке [math]x_0[/math] утверждение неверно. Контрпримером служит функция, равная 0 всюду, кроме одной точки, в которой она положительна.

Замечание 2. Аналогичное утверждение справедливо и для двух функций:

Пусть непрерывны в точке [math]x_0[/math]. Тогда [math]\int_a^bf\lt \int_a^bg[/math].

Для доказательства достаточно применить свойство к функции [math]g-f.[/math]

Замечание 3. Пусть Тогда [math]\int_a^bf\gt 0.[/math] Аналогичное утверждение верно и для двух функций.

Действительно, из критерия Лебега легко вытекает, что на есть точки непрерывности .

Теорема (Свойство 6):

Пусть . Тогда .

Доказательство:

Интегрируя неравенство , получаем:

,

что равносильно доказываемому.

Замечание 4. Если отказаться от требования , свойство надо изменить так: если [math]f\in R[a,b][/math], то

Интегрируемость модуля интегрируемой функции

Интегрируемость произведения

Интегрируемость частного

Ослабленный критерий Лебега. Следствие

Критерий Лебега интегрируемости функции по Риману: функция интегрируема по Риману на отрезке , если и только если на этом отрезке она ограничена, и множество точек, где она разрывна, имеет нулевую меру (то есть может быть покрыто счётным семейством интервалов со сколь угодно малой суммарной длиной). Ослабленный критерий - это, видимо, тогда, когда множество точек, где ф-ия разрывна, просто конечно. // Скорее всего, еще все разрывы 1 рода

Примерное доказательство, если там действительно конечное множество точек разрыва:

Пусть есть m точек разрыва. Тогда они входят не более, чем в 2m отрезков дробления. Пусть X — множество точек разрыва. Тогда [math]S_{\tau} - s_{\tau}[/math] можно представить в виде . На всех отрезках, участвующих в первом слагаемом, функция непрерывна, поэтому оно, очевидно, стремится к нулю при [math]\max{\Delta{x_k} \to 0}[/math]. Для второго обозначим . Тогда оно меньше или равно , что никак не мешает всей сумме стремиться к нулю.

Теорема о среднем. Следствия

Теорема (Теорема о среднем):

Пусть (или ), . Тогда .

Доказательство:

Для определенности будем полагать, что [math]a\lt b,g\ge0[/math]. Тогда [math]\int_a^bg\ge0[/math] и [math]mg\le fg\le Mg[/math].

Проинтегрируем это неравенство и вынесем постоянные множители за знаки интегралов:

.

Отсюда если [math]\int_a^bg=0[/math], то и [math]\int_a^bfg=0[/math], а тогда подходит любое [math]\mu[/math]. Если же [math]\int_a^bg\gt 0[/math], то следует положить:

.

Условия на , очевидно, выполнены.

Теорема (Следствие 1):

Пусть (или ). Тогда .

Доказательство:

По теореме Вейерштрасса о непрерывных функциях существуют и .

Подберем из теоремы о среднем. По теореме Больцано-Коши о промежуточном значении найдется .

Теорема (Следствие 2):

Пусть . Тогда .

Доказательство:

Для доказательства надо положить в теореме о среднем.

Теорема (Следствие 3):

Пусть . Тогда .

Доказательство:

Для доказательства надо положить в следствии 1.

Теорема Барроу

Теорема (Об интеграле с переменным верхним пределом):

Пусть - невырожденный промежуток, интегрируема на каждом отрезке, содержащемся в . Тогда справедливы следующие утверждения.

1. [math]\Phi\in C(E).[/math]

2. Если, кроме того, [math]f[/math] непрерывна в точке [math]x_0\in E[/math], то [math]\Phi[/math] дифференцируема в точке [math]x_0[/math] и [math]\Phi'(x_0)=f(x_0)[/math].

Утверждение 2 часто называют теоремой Барроу.

Доказательство:

1. Возьмем [math]x_0\in E[/math] и докажем непрерывность [math]\Phi[/math] в точке [math]x_0[/math]. Выберем такое [math]\delta\gt 0[/math], что есть невырожденный отрезок [math][A,B][/math]. Функция [math]f[/math] ограничена на [math][A,B][/math] некоторым числом [math]M[/math]. Пусть [math]\Delta x[/math] таково, что [math]x_0+\Delta x\in[A,B][/math]. Тогда по аддитивности интеграла

, по по свойству 4 и по свойству 6

.

Это и доказывает непрерывность [math]\Phi[/math] в точке [math]x_0[/math].

2. Проверим, что .

Возьмем [math]\varepsilon\gt 0[/math] и по определению непрерывности подберем . Тогда , по свойству 6 и по свойству 5 и замечаниям к ним

, откуда и следует проверяемое утверждение.

Формула Ньютона-Лейбница для кусочно-непрерывных функций

Теорема (Формула Ньютона-Лейбница):

Пусть - первообразная на . Тогда .

Доказательство:

[math]\forall n\in\mathbb{N}[/math] положим [math]x_k={k(b-a)\over n}[/math]. Тогда

По теореме Лагранжа .

В силу интегрируемости [math]f[/math]

Замена переменных и интегрирование по частям в определенном интеграле

Интегрирование по частям

Теорема:

Пусть дифференцируемы на . Тогда

Доказательство:

Будучи дифференцируемыми, функции [math]f,\ g[/math] непрерывны и, следовательно, интегрируемы. По теореме об арифметическими действиями над интегрируемыми функциями [math]f'g,fg'\in R[a,b][/math], а тогда и [math](fg)'=f'g+fg'\in R[a,b][/math]. По формуле Ньютона-Лейбница

Остается перенести второе слагаемое из левой части в правую.

Замена переменной

Теорема:

Пусть дифференцируема на . Тогда

Доказательство:

Поскольку , по теореме об арифметических действиях над интегрируемыми функциями . Также и . Пусть [math]F[/math] - первообразная [math]f[/math] на [math][A,B][/math]. Тогда по правилу дифференцирования композиции [math]F\circ\varphi[/math] - первообразная [math](f\circ\varphi)\varphi'[/math] на [math][A,B][/math]. Применяя к обоим интегралам формулу Ньютона-Лейбница, получаем:

Иррациональность числа пи

Формула Валлиса

Лемма:

Если , то

Доказательство:

Обозначим . Легко проверить, что [math]J_0={\pi\over2},\ J_1=1[/math]. При [math]m-1\in\mathbb{N}[/math] проинтегрируем по частям:

(в последнем равенстве мы учли, что двойная подстановка обнулилась, и применили формулу [math]\cos^2x=1-\sin^2x[/math]). Выражая [math]J_m[/math], получаем реккурентное соотношение

[math]J_m={m-1\over m}J_{m-2}.[/math]

Остается применить его несколько раз и выразить через или в зависимости от четности .

Теорема (Формула Валлиса):

Доказательство:

выполняется неравенство [math]0\lt \sin x\lt 1[/math], поэтому [math]\forall n\in\mathbb{N}[/math]

а тогда и

Подставляя найденные в лемме значения [math]J_m[/math], получаем двойное неравенство

что равносильно

Обозначим . Двойное неравенство можно преобразовать к виду

откуда .

Формула Тейлора с интегральным остатком

Теорема (Формула Тейлора с остатком в интегральной форме):

Пусть . Тогда .

Доказательство:

По индукции. База индукции (случай [math]n=0[/math]) представляет собой формулу Ньютона-Лейбница:

.

Пусть утверждение верно для некоторого [math]n-1\in\mathbb{Z}_+[/math]. Докажем его для номера [math]n[/math]. Для этого проинтегрируем его по частям в остаточном члене:

.

Первое слагаемое в правой части есть слагаемое с номером [math]n[/math] в многочлене Тейлора, а второе - новый остаточный член:

Неравенство Чебышева для функций и конечных последовательностей

Теорема (Неравенство Чебышева для функций):

Пусть возрастает, а убывает на . Тогда .

Доказательство:

Виноградов, том 2, стр. 47

Теорема (Неравенство Чебышева для сумм):

Пусть . Тогда .

Доказательство:

Виноградов, том 2, стр. 47

Неравенство Гельдера и Минковского

Неравенство Гельдера для интегралов

Теорема (Неравенство Гёльдера для интегралов):

Пусть - сопряженные показатели. Тогда

Доказательство:

Положим . Тогда в силу равенства [math]{1\over p}+{1\over q}=1[/math]. Воспользуемся неравенством Гёльдера для сумм:

которое принимает вид

В последнем неравенстве участвуют суммы Римана для непрерывных функций . При суммы стремятся к интегралам от этих функций. Остается сделать предельный переход в неравенстве и воспользоваться непрерывностью модуля и степенных функций.

Неравенство Минковского для интегралов

Теорема (Неравенство Минковского для интегралов):

Пусть . Тогда

Доказательство:

Для доказательства неравенства Минковского можно сделать предельный переход в неравенстве для сумм.

Неравенство Йенсена для интегралов. Неравенство Коши

Неравенство Йенсена для интегралов

Теорема:

Пусть выпукла и непрерывна на . Тогда .

Доказательство:

Обозначим

([math]m[/math] и [math]M[/math] конечны по теореме Вейерштрасса). Если [math]m=M[/math], то есть [math]\varphi[/math] постоянна на [math]E[/math], то [math]c=m[/math] и обе части неравенства Йенсена равны [math]f(m)[/math].

Пусть [math]m\lt M[/math]. Тогда [math]c\in(m,M)[/math] и, следовательно, [math]c\in(A,B)[/math]. Функция [math]f[/math] имеет в точке [math]c[/math] опорную прямую; пусть она задается уравнением [math]y=\alpha x+\beta[/math]. По определению опорной прямой [math]f(c)=\alpha c+\beta[/math] и . Поэтому

Неравенство Коши-Буняковского для интегралов

Теорема:

Пусть . Тогда

Доказательство:

Для доказательства надо положить в неравенстве Гёльдера .

Теорема о формуле трапеций

Теорема:

Доказательство:

Линк(англ.)

Формула Эйлера - Маклорена

Вики В кратце - формула, позволяющая выражать дискретные суммы значений функции через интегралы от функции. В частности, многие асимптотические разложения сумм получаются именно через эту формулу.

Формула Стирлинга

Формула на вики В кратце - формула для приближённого вычисления факториала и гамма-функции.

Свойства несобственного интеграла: аддитивность, линейность, монотонность, интегрирование по частям

Теорема (Аддитивность несобственного интеграла):

Если интеграл сходится, то для любой точки интеграл тоже сходится, и . Обратно, если при некотором интеграл сходится, то сходится и интеграл .

Доказательство:

Виноградов, том 2, стр. 51

Теорема (Линейность несобственного интеграла):

Если интегралы , сходятся, , то интеграл сходится и .

Доказательство:

Виноградов, том 2, стр. 52

Теорема (Монотонность несобственного интеграла):

Если интегралы , существуют в , на , то .

Доказательство:

Виноградов, том 2, стр. 52

Теорема (Интегрирование по частям в несобственном интеграле):

Пусть дифференцируемы на . Тогда .

Доказательство:

Виноградов, том 2, стр. 53

Признак сравнения сходимости несобственного интеграла

Теорема (Признак сравнения сходимости несобственных интегралов):

Пусть при .

1. Если интеграл [math] \int_a^b g [/math] сходится, то и интеграл [math] \int_a^b f [/math] сходится.

2. Если интеграл расходится, то и интеграл расходится.

Доказательство:

Виноградов, том 2, стр. 56

Теорема об абсолютной сходимости

???

Теорема:

Если интеграл сходится абсолютно, то он сходится.

Доказательство:

Виноградов, том 2, стр. 60

Исследование интеграла sin(x)/x^p на абсолютную и условную сходимость

Виноградов т 2 стр 65

Признаки Дирихле и Абеля

Теорема (Признаки Дирихле и Абеля сходимости несобственных интегралов):

Пусть монотонна.

1. Признак Дирихле. Если функция [math]F(A)=\int_a^Af[/math] ограничена, а , то интеграл [math]\int_a^bfg[/math] сходится.

2. Признак Абеля. Если интеграл сходится, а ограничена, то интеграл сходится.

Доказательство:

1. Проинтегрируем по частям:

Двойная подстановка обнуляется, поэтому сходимость исходного интеграла равносильна сходимости интеграла [math]\int_a^bFg'[/math]. Докажем, что последний сходится абсолютно, по признаку сравнения. Пусть [math]K[/math] таково, что [math]|F(x)|\le K \forall x\ge a[/math]. Поскольку [math]g[/math] монотонна, [math]g'[/math] не меняет знака на [math][a,b)[/math]. Следовательно,

2. Так как [math]g[/math] монотонна и ограничена, существует конечный предел . Функции [math]f[/math] и [math]g-\alpha[/math] удовлетворяют условиям признака Дирихле, поэтому интеграл [math]\int_a^bf(g-\alpha)[/math] сходится, а тогда и интеграл [math]\int_a^bfg[/math] сходится как сумма двух сходящихся:

Теорема о вычислении аддитивной функции промежутка по плотности

Площадь и ее свойства: монотонность, усиленная аддитивность.

Теорема:

Если и — квадрируемые фигуры, , то .

Доказательство:

Виноградов, том 2, стр. 68

Теорема:

Если квадрируемые фигуры и пересекаются по множеству нулевой площади (в частности, по отрезку), то .

Доказательство:

Виноградов, том 2, стр. 68

Площадь подграфика.

Теорема:

Площадь подграфика функции равна .

Доказательство:

Виноградов, том 2, стр. 69-70

Площадь криволинейного сектора в полярных координатах

Площадь криволинейного сектора для параметрически заданной кривой

Изопериметрическое неравенство

Усиленная теорема о плотности

Вычисление длины пути. Длина графика

Виноградов т 2 стр 84-85

Простейшие свойства суммы ряда: линейность, свойства остатка

Теорема:

Если ряд сходится, то ряд тоже сходится и Обратно, если ряд сходится, то сходится и ряд .

Доказательство:

При предел обеих частей равенства существует или нет одновременно, то есть сходимость рядов и равносильна. Равенство в условии получается переходом к пределу.

Теорема:

Если ряд сходится, то . Другими словами, остаток сходящегося ряда стремится к нулю.

Доказательство:

Теорема:

Если ряды , сходятся, , то ряд сходится и

Доказательство:

Для доказательства надо перейти к пределу в равенстве для частичных сумм

Теорема:

Если - последовательность комплексных чисел, , то сходимость ряда равносильна одновременной сходимости рядов и . При этом .

Теорема:

Если ряды с вещественными числами имеют суммы в , то .

Доказательство:

Для доказательства надо перейти к пределу в неравенстве для частичных сумм.

Необходимое условие сходимости, критерий Больцано--Коши

Теорема (Необходимое условие сходимости ряда):

Общий член сходящегося ряда стремится к нулю: если ряд сходится, то .

Доказательство:

Виноградов, том 2, стр. 104

Теорема (Критерий Больцано-Коши сходимости рядов):

Сходимость ряда равносильна условию .

Доказательство:

Виноградов, том 2, стр. 104

Признак сравнения сходимости положительных рядов

Теорема (Признак сравнения сходимости положительных рядов):

Пусть при всех , при .

1. Если ряд сходится, то и ряд сходится.

2. Если ряд расходится, то и ряд расходится.

Доказательство:

Виноградов, том 2, стр. 108-109

Признак Коши

Теорема (Радикальный признак Коши сходимости положительных рядов):

Пусть при всех , .

1. Если [math] \mathcal{K} \gt 1 [/math], то ряд расходится.

2. Если , то ряд сходится.

Доказательство:

Виноградов, том 2, стр. 110

Признак Даламбера

Теорема (Признак Даламбера сходимости положительных рядов):

Пусть при всех и существует предел .

1. Если [math] \mathcal{D} \gt 1 [/math], то ряд расходится.

2. Если , то ряд сходится.

Доказательство:

Виноградов, том 2, стр. 111

Интегральный признак Коши

Теорема (Интергральный признак Коши):

Пусть монотонна на . Тогда ряд и интеграл сходятся или расходятся одновременно.

Доказательство:

Для определенности предположим, что [math]f[/math] убывает. Если [math]f(x_0)\lt 0[/math] при некотором [math]x_0[/math], то в силу убывания , а тогда и ряд, и интеграл расходятся к [math]-\infty[/math] по признаку сравнения. Поэтому можно считать, что [math]f\ge0[/math]. В этом случае и сумма, и значение интеграла существует и принадлежат [math][0,+\infty][/math].

Поскольку [math]f[/math] убывает, .

Возьмём [math]n\in\mathbb{N}[/math] и пронумеруем эти неравенства по [math]k[/math] от [math]1[/math] до [math]n[/math]:

.

Сделав в левой части замену индекса и устремив [math]n[/math] к [math]\infty[/math], получим неравенство

,

откуда следует, что сумма и интеграл конечны или нет одновременно.

Признак Раабе

Теорема (Признак Раабе):

Если и , то

1. при [math] p \gt 1 [/math] ряд сходится;

2. при ряд расходится.

Доказательство:

???

Теорема об абсолютно сходящихся рядах

???

Теорема:

Если ряд сходится абсолютно, то он сходится.

Доказательство:

Виноградов, том 2, стр. 120

Признак Лейбница. Следствие.

Теорема (Признак Лейбница сходимости рядов):

Пусть посл-ть монотонна, . Тогда ряд сходится.

Доказательство:

Для определенности предположим, что [math]\{b_n\}[/math] убывает, и поэтому [math]b_n \ge 0[/math]. Рассмотрим посл-ть [math]\{S_{2m}\}[/math]. Она возрастает, поскольку

,

и ограничена сверху, т.к.

.

Поэтому сходится к некоторому пределу . Но тогда и , поскольку . По лемме о подпоследовательностях .

Замечание 1.

Т.к. и [math]S_{2m}\le b_1[/math], по теореме о предельном переходе в неравенстве [math]0 \le S \le b_1[/math].

Ряды, удовлетворяющие условиям признака Лейбница, иногда называют лейбницевскими.

Замечание 2.

Остаток лейбницевского ряда не превосходит своего первого члена по абсолютной величине и совпадает с ним по знаку:

.

Для доказательства нужно применить замечание 1 к остатку ряда.

Признаки Дирихле и Абеля для рядов

Теорема (Признаки Дирихле и Абеля сходимости рядов):

1. Признак Дирихле. Если посл-ть ограничена, а , то ряд сходится. 2. Признак Абеля. Если ряд сходится, а последовательность ограничена, то ряд сходится.

Доказательство:

1. Применим преобразование Абеля, положив [math]A_0=0[/math]:

Из того, что [math]\{A_n\}[/math] ограничена, а [math]\{b_n\}[/math] бесконечно мала, следует, что [math]A_nb_n\to0[/math]. Поэтому сходимость исходного ряда равносильна сходимости ряда

Докажем, что он сходится абсолютно. Пусть [math]K[/math] таково, что [math]\forall k |A_k|\le K[/math]. Поскольку [math]\{b_k\}[/math] монотонна, все разности [math]b_k-b_{k+1}[/math] одного знака. Следовательно,

В предпоследнем равенстве мы вычислили телескопическую сумму.

2. Так как [math]\{b_k\}[/math] монотонна и ограничена, . Посл-ти [math]\{a_k\}, \{b_k-\alpha\}[/math] удовлетворяют условиям признака Дирихле. Поэтому ряд сходится, а тогда и ряд [math]\sum_{k=1}^\infty a_kb_k[/math] сходится как сумма двух сходящихся:

Теорема о группировке слагаемых ряда. Замечание о ряде с "ограниченными" скобками

Определение:

Пусть дан ряд и строго возрастающая последовательность целых чисел . Положим . Тогда говорят, что ряд получен из первого ряда группировкой членов (расстановкой скобок).

Теорема (О группировке слагаемых ряда):

1. Если ( или ), то и .

2. Если ( или ), [math] a_n \to 0 [/math], и существует такое [math] L \in \mathbb{N} [/math], что каждая группа содержит не более [math] L [/math] слагаемых, то и .

3. Если вещественны, , а члены в каждой группе одного знака, то и .

Доказательство:

Виноградов, том 2, стр. 106-107

Замечание: из пункта 1 следует, что если ряд после расстановки скобок расходится, то расходится и исходный ряд. Если же ряд после расстановки скобок сходится, то про поведение исходного ряда ничего сказать нельзя. Однако, если при этом выполнены условия 2 или 3, то можно сделать и обратное заключение. (это вообще то?)

Теорема о перестановке слагаемых ряда

Теорема (Перестановка членов абсолютно сходящегося ряда):

Пусть ряд абсолютно сходится к сумме — биекция. Тогда ряд абсолютно сходится к .

Доказательство:

1. Сначала рассмотрим случай, когда ряд положительный: . Обозначим .

[math]\forall n T_n\le S_m\le S,[/math] где . Следовательно, ряд сходится, и его сумма [math]T\le S[/math].

Доказано, что перестановка положительного ряда не увеличивает его сумму. Применяя это утверждение к перестановке [math]\varphi^{-1}[/math], получаем неравенство [math]S\le T[/math].

2. Пусть члены ряда [math]a_k[/math] вещественны. По признаку сравнения положительные ряды с членами [math](a_k)_\pm[/math] сходятся. По доказанному ряды с членами [math](a_{\varphi(k)})_\pm[/math] сходятся к тем же суммам. Следовательно, ряд сходится как разность двух сходящихся рядов, причем

3. Пусть члены ряда комплексные, . Ряды с вещественными членами абсолютно сходятся. По доказанному их суммы не меняются при перестановке.

Теорема (Перестановка членов условно сходящегося ряда):

Пусть ряд с вещественными членами сходится условно. Тогда перестановка, после которой ряд будет иметь сумму . перестановка, после которой ряд не будет иметь суммы.

Доказательство:

Докажем теорему, когда [math]S\in[0,+\infty)[/math]. Пусть [math]\{b_p\},\{c_q\}[/math] — подпосл-ти всех неотрицательных и всех отрицательных членов ряда; [math]b_p=a_{n_p},c_q=a_{m_q}[/math]. Оба ряда расходятся. Положим [math]p_0=q_0=0[/math]. Обозначим через [math]p_1[/math] наименьшее натуральное число, для которого .

Затем обозначим через [math]q_1[/math] наименьшее натуральное число, для которого , то есть . Такие [math]p_1, q_1[/math] найдутся в силу расходимости рядов [math]b_p, c_q[/math].

Продолжим построение неограниченно. Пусть номера уже выбраны. Обозначим через [math]p_s[/math] наименьшее натуральное число, для которого , то есть .

Затем обозначим через [math]q_s[/math] наименьшее натуральное число, для которого , то есть . Такие [math]p_s, q_s[/math] найдутся в силу расходимости рядов [math]b_p, c_q[/math].

Ряд получен из исходного ряда перестановкой. Докажем, что он сходится к . Сгруппировав члены одного знака, получим ряд ; обозначим его частные суммы через . По построению . Поскольку ряд сходится, . Следовательно, . По теореме о группировке членов ряда ряд сходится к .

Теорема о произведении рядов

Теорема (Умножение рядов):

Если ряды и абсолютно сходятся к суммам и , то при любой нумерации их произведение абсолютно сходится к .

Доказательство:

Виноградов, том 2, стр. 131

Теорема Стокса--Зайдля о непрерывности предела последовательности функций

Теорема об предельном переходе под знаком интеграла

Теорема о предельном переходе под знаком производной

Определения и факты

Список

Ряды Тейлора основных элементарных функций
Интеграл функции по параллелепипеду — обобщить на [math]\mathbb{R}^m[/math]: Интеграл_Римана_по_прямоугольнику
Вектор скорости
Произведение степенных рядов

Ряды Тейлора основных элементарных функций

http://ru.wikipedia.org/wiki/Ряд_Тейлора#.D0.A0.D1.8F.D0.B4.D1.8B_.D0.9C.D0.B0.D0.BA.D0.BB.D0.BE.D1.80.D0.B5.D0.BD.D0.B0_.D0.BD.D0.B5.D0.BA.D0.BE.D1.82.D0.BE.D1.80.D1.8B.D1.85_.D1.84.D1.83.D0.BD.D0.BA.D1.86.D0.B8.D0.B9

Локальный экстремум

Определение:

называется точкой локального максимума функции если существует проколотая окрестность такая, что:

[math]x_0[/math] называется точкой локального минимума функции [math]f,[/math] если существует проколотая окрестность [math]\dot{U}(x_0)[/math] такая, что:

Если неравенства выше строгие, то называется точкой строгого локального максимума или минимума соответственно.

Точка возрастания функции

Определение:

Пусть . Если и , то называется точкой возрастания функции .

Стационарная точка

Определение:

Пусть . Если , то называется стационарной точкой функции . Если или не дифференцируема в точке , то называется критической точкой функции .

Выпуклая функция

Определение:

Функция называется:

выпуклой вниз на [math]\langle a,b\rangle[/math], если выполняется неравенство

;

строго выпуклой вниз на [math]\langle a,b\rangle[/math], если выполняется неравенство

.

Если выполняются противоположные неравенства, то функция [math]f[/math] называется соответственно выпуклой вверх или строго выпуклой вверх на [math]\langle a,b\rangle[/math].

Часто функции, которые только что были названы выпуклыми вниз, называют просто выпуклыми, а те, что были названы выпуклыми вверх, - вогнутыми.

Выпуклое множество в R^m

Определение:

Множество (на прямой, на плоскости, в трехмерном пространстве) называется выпуклым, если вместе в с любыми своими двумя точками оно содержит весь отрезок, их соединяющий.

Надграфик и подграфик

Надграфик

Определение:

Пусть . Множество называется надграфиком функции .

Подграфик

Определение:

Пусть . Множество

называется подграфиком функции .

Опорная прямая

Определение:

Пусть . Прямая, задаваемая уравнением , называется опорной для функции в точке , если

.

Если же

,

то прямая называется строго опорной для функции в точке .

Первообразная

Определение:

Пусть . Функция называется первообразной функции на , если .

Таблица первообразных

1. [math]\int0dx=C[/math]

2.

3.

4.

5. [math]\int \sin x dx=-\cos x+C[/math]

6. [math]\int \cos x dx=\sin x+C[/math]

7.

8.

9.

10.

11.

12.

Дробление отрезка

Определение:

Пусть - невырожденный отрезок. Набор точек

называется дроблением отрезка [math][a,b][/math]. Отрезки называют отрезками дробления, через [math]\Delta x_k[/math] обозначается длина [math]k[/math]-го отрезка дробления. Величина

называется рангом или мелкостью дробления . Набор точек , таких что , называется оснащением дробления. Дробление вместе с его оснащением, то есть пара , называется оснащенным дроблением.

Дробление параллелепипеда

Определение:

Пусть параллелепипед задан двумя точками . Дроблением параллелепипеда называется множество дроблений , где - дробление отрезка .

Что значит, что одно дробление мельче другого

//для отрезка

Определение:

Дробление мельче дробления , если набор точек дробления содержится в наборе этих точек для .

//для параллелепипеда

Определение:

Дробление мельче, если для всех дроблений из верно, что дробление из одного мельче дробления из другого.

//Копипаста http://vk.com/topic-29253653_26076730?post=1937

Сумма Дарбу

Определение:

Пусть - дробление ,

.

Суммы

и

называются верхней и нижней интегральными суммами или суммами Дарбу функции , отвечающими дроблению .

Верхний интеграл Дарбу

Определение:

Пусть . Величины

, и

называются верхним и нижним интегралами Дарбу функции .

Интегрируемая по Риману функция

Определение:

Пусть . Число называют пределом интегральных сумм при ранге дробления, стремящемся к нулю, если для любого положительного числа существует такое положительное число , что для любого оснащения дробления , ранг которого меньше , интегральная сумма отличается от числа меньше чем на .

Определение:

Пусть . Если существует предел интегральных сумм , равный числу , то функция называется интегрируемой по Риману на , а число - интегралом (определенным интегралом, интегралом Римана) от функции по отрезку и обозначается .

Интеграл функции по параллелепипеду

Риманова сумма

Определение:

Пусть . Суммы

называются интегральными суммами или суммами Римана функции , отвечающими оснащенному дроблению .

Колебание функции на множестве

Определение:

Пусть . Величина

называется колебанием функции на множестве .

Множество объема 0

Определение:

Множество имеет объём 0, если покрытие множества брусами .

Множество меры 0

Определение:

Говорят, что множество имеет нулевую меру, если множество можно заключить в не более чем счетное объединение интервалов, суммарная длина которых меньше .

Интеграл с переменным верхним пределом

Определение:

Пусть - невырожденный промежуток интегрируема на каждом отрезке, содержащемся в . Функция

[math]\Phi(x)=\int_a^xf,\ x\in E[/math]

называется интегралом с переменным верхним пределом.

Кусочно-непрерывная функция

Определение:

Функция называется кусочно-непрерывной на , если множество ее точек разрыва пусто или конечно, и все имеющиеся разрывы - первого рода.

Почти первообразная

Определение:

Пусть . Функция называется почти первообразной функции на , если во всех, кроме конечного множества, точках промежутка .

Несобственный интеграл

Определение:

Функция называется локально интегрируемой (по Риману) на промежутке , если интегрируема (по Риману) на каждом отрезке, содержащемся в . Множество функций, локально интегрируемых на , обозначается через .

Определение:

Пусть . Символ называется несобственным интегралом. Интегралы при называются частными или частичными. Если в , равный , то символу приписывают значение . В противном случае символу не приписывают никакого значения. Если , то говорят, что несобственный интеграл сходится; в противном случае говорят, что он расходится.

Абсолютно сходящийся интеграл

Определение:

Интеграл называют абсолютно сходящимся, если сходится интеграл .

Аддитивная функция промежутка

Определение:

Пусть дан отрезок . Обозначим . называют функцией промежутка. Она будет аддитивной, если

Плотность аддитивной функции промежутка

Определение:

— аддитивная функция промежутка. Пусть . Тогда плотностью называется величина .

Площадь

Определение:

Площадью называется функционал , заданный на некотором классе подмножеств плоскости, называемых квадрируемыми фигурами, и обладающий следующими тремя свойствами:

1. Аддитивность. Если [math] P_1 [/math] и [math] P_2 [/math] — квадрируемые фигуры, причём , то [math] P_1 \cup P_2 [/math] — квадрируемая фигура и .

2. Нормированность на прямоугольниках. Площадь прямоугольника со сторонами [math] a [/math] и [math] b [/math] равна [math] ab [/math].

3. Инвариантность относительно движений. Если — квадрируемая фигура, — движение плоскости (то есть отображение , сохраняющее расстояние между точками), то — квадрируемая фигура и .

Длина пути

Определение:

Путём в называется непрерывное отображение отрезка в :

.

Точка [math] \gamma(a) [/math] называется началом, [math] \gamma(b) [/math] — концом пути. Множество

,

то есть образ отрезка , называется носителем пути.

Определение:

Пусть — путь в . Величина называется длиной пути .

Вектор скорости

Сумма ряда

Определение:

Пусть - вещественная или комплексная последовательность. Символ называется числовым рядом, а числа - его членами. Если последовательность имеет предел , то называют суммой ряда.

Сходящийся ряд, расходящийся ряд

Определение:

Если последовательность сходится, то говорят, что ряд сходится, в противном случае говорят, что он расходится.

Остаток сходящегося ряда

Определение:

Ряд называется остатком ряда после -го члена.

Абсолютно сходящийся ряд

Определение:

Говорят, что ряд сходится абсолютно, если сходится ряд .

Преобразование Абеля

Лемма (Преобразование Абеля):

Пусть - числовые посл-ти, при . Тогда

Доказательство:

Преобразование Абеля — дискретный аналог интегрирования по частям

Перестановка ряда

Определение:

Пусть — биекция (перестановка натурального ряда). Тогда говорят, что ряд получен из ряда перестановкой членов или является перестановкой ряда .

Произведение рядов

Определение:

Пусть даны ряды и . Их произведением называют ряд

Произведение степенных рядов

Поточечная сходимость функционального ряда

Определение:

Ряд сходится поточечно к , если

Равномерная сходимость функционального ряда

Определение:

. Ряд сходится равномерно к , если

Метрика в пространстве непрерывных ограниченных функций

Определение:

Пусть — пространство непрерывных и ограниченных отображений из в метрическое пространство . Расстояние между двумя отображениями и из этого пространства определяется как

@@ Строка 1312: / Строка 1312: @@
 === Ряды Тейлора основных элементарных функций ===
+http://ru.wikipedia.org/wiki/Ряд_Тейлора#.D0.A0.D1.8F.D0.B4.D1.8B_.D0.9C.D0.B0.D0.BA.D0.BB.D0.BE.D1.80.D0.B5.D0.BD.D0.B0_.D0.BD.D0.B5.D0.BA.D0.BE.D1.82.D0.BE.D1.80.D1.8B.D1.85_.D1.84.D1.83.D0.BD.D0.BA.D1.86.D0.B8.D0.B9
 === Локальный экстремум ===