Теорема Холла

Определения

Пусть [math]G(V,E)[/math] - двудольный граф. [math]L[/math] - множество вершин первой доли. [math]R[/math] - множество вершин правой доли.

Определение:

Полным(совершенным) паросочетанием называется паросочетание в которое входят все вершины.

Определение:

Пусть [math]X \subset V [/math]. Множeство соседей [math]X[/math] определим формулой: [math]N(X)= \{ y \in V: (x,y) \in E \}[/math]

Теорема

Теорема (Холл):

Полное паросочетание существует тогда и только тогда, когда для любого [math]A \subset L [/math] выполнено [math]|A| \leq |N(A)|[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Очевидно, что если существует полное паросочетание, то для любого [math]A \subset L [/math] выполнено [math]|A| \leq |N(A)|[/math]. У любого подмножества вершин есть по крайней мере столько же "соседей"("соседи по парасочетанию"). Пусть граф [math]G'[/math] изначально имеет левую долю [math]L'[/math], которая содержит одну любую вершину из L, и правую [math]R' = R[/math] В обратную сторону докажем по индукции(будем добавлять вершину [math]x[/math] из [math]L[/math] в [math]L'[/math] и доказывать что в L' есть паросочетание, насыщающее все вершины из L'). Таким образом, в конце получим что [math]G'[/math] совпадает с [math]G[/math]. Из этого будет следовать существование в [math]G[/math] полного паросочетания. База: Одна вершина соединена хотя бы с одной вершиной из R. Следовательно база верна. Переход: Пусть после k добавлений в G' можно построить паросочетание P, насыщающее все вершины из L'. Докажем что после добавления вершины x в G' будет существовать паросочетание насыщающее все вершины L'. Рассмотрим L' + x. Рассмотрим все вершины достижимые из x в G', если можно ходить из R' в L' только по ребрам P, а из L' в R' по любым ребрам из G'. Для этого множества должно выполнятся условие

[math]\triangleleft[/math]