Нормированные пространства (3 курс) — различия между версиями
| Строка 1: | Строка 1: | ||
| + | {{В разработке}} | ||
| + | |||
<wikitex> | <wikitex> | ||
| Строка 34: | Строка 36: | ||
* $X = \mathbb{R}^n, \| \overline x \| = \sqrt {\sum_{k = 1}^{n} x_k^2}$ | * $X = \mathbb{R}^n, \| \overline x \| = \sqrt {\sum_{k = 1}^{n} x_k^2}$ | ||
* $X = C[a; b]$ — пространство непрерывных на $[a; b]$ функций, $\| f \| = \max\limits_{x \in [a; b]} |f(x)|$ | * $X = C[a; b]$ — пространство непрерывных на $[a; b]$ функций, $\| f \| = \max\limits_{x \in [a; b]} |f(x)|$ | ||
| − | * $X = L_p$ — пространство TODO пшшш,$\| f \| = \left( \int\limits_E |f(x)|^p d \mu \right)^{1 \over p}$, | + | * $X = L_p$ — пространство TODO пшшш,$\| f \| = \left( \int\limits_E |f(x)|^p d \mu \right)^{1 \over p}$, заметим, что здесь надо отождествить почти везде совпадающие функции, иначе, например, интеграл функции, почти везде равной нулю, будет нулевым, хотя сама функция ненулевая, что нарушит первую аксиому нормы. |
{{Определение | {{Определение | ||
| Строка 40: | Строка 42: | ||
Нормированное пространство $(X, \|\cdot\|)$ называется '''B-пространством (Банаховым)''', если для любой последовательности элементов $X$, для которых из $\|x_n - x_m\| \to 0$ при $n, m \to \infty$ вытекает существование предела последовательности. | Нормированное пространство $(X, \|\cdot\|)$ называется '''B-пространством (Банаховым)''', если для любой последовательности элементов $X$, для которых из $\|x_n - x_m\| \to 0$ при $n, m \to \infty$ вытекает существование предела последовательности. | ||
}} | }} | ||
| + | |||
| + | {{Определение | ||
| + | |definition= | ||
| + | Нормы $\| \|_1$, $\| \|_2$ '''эквивалентны''', если существуют константы $m, M$ такие, что $\forall x: m\|x\|_2 \le \|x\|_1 \le M \|x\|_2$. | ||
| + | }} | ||
| + | |||
| + | Это определение равносильно тому, что сходимость последовательностей в них равносильна: $x_n \xrightarrow[]{\|\|_1} x \Leftrightarrow x_n \xrightarrow[]{\|\|_2} x$. TODO: в одну сторону равносильность определений вроде очевидна, а в другую не очень. | ||
Ссылочки: | Ссылочки: | ||
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Vector_space Vector space] | * [http://en.wikipedia.org/wiki/Vector_space Vector space] | ||
| + | * [http://en.wikipedia.org/wiki/Norm_(mathematics) Norm] | ||
</wikitex> | </wikitex> | ||
Версия 03:37, 31 декабря 2012
Эта статья находится в разработке!
<wikitex>
| Определение: |
Линейное (векторное) пространство над полем $K$ — это множество $L$ с заданными на нем операциями сложениями и умножения на скаляр такими, что:
|
| Определение: |
| Функция $\ |
Заметим, что любое нормированное пространство можно превратить в метрическое, задав метрику как $\rho(x, y) = \| x - y \|$. Заметим, что обратное неверно: например, хоть и $\mathbb{R}^{\infty}$ c $\rho(x, y) = \sum 2^{-k} \frac{|x_k - y_k|}{1 + |x_k - y_k|}$ можно наделить линейной сткуртурой, не существует нормы, аналогичной по сходимости с этой метрикой.
Смысл нормы в ЛП состоит в том, чтобы линейные операции относительно нормы стали непрерывными: TODO что-то не особенно понял, к чему тут это
Примеры НП:
- $X = \mathbb{R}^n, \| \overline x \| = \sqrt {\sum_{k = 1}^{n} x_k^2}$
- $X = C[a; b]$ — пространство непрерывных на $[a; b]$ функций, $\| f \| = \max\limits_{x \in [a; b]} |f(x)|$
- $X = L_p$ — пространство TODO пшшш,$\| f \| = \left( \int\limits_E |f(x)|^p d \mu \right)^{1 \over p}$, заметим, что здесь надо отождествить почти везде совпадающие функции, иначе, например, интеграл функции, почти везде равной нулю, будет нулевым, хотя сама функция ненулевая, что нарушит первую аксиому нормы.
| Определение: |
| Нормированное пространство $(X, \ |
| Определение: |
| Нормы $\ |
Это определение равносильно тому, что сходимость последовательностей в них равносильна: $x_n \xrightarrow[]{\|\|_1} x \Leftrightarrow x_n \xrightarrow[]{\|\|_2} x$. TODO: в одну сторону равносильность определений вроде очевидна, а в другую не очень.
Ссылочки:
</wikitex>
