Счетно-нормированные пространства — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Новая страница: «{{В разработке}}»)
 
Строка 1: Строка 1:
 
{{В разработке}}
 
{{В разработке}}
 +
<wikitex>
 +
$C^p [a; b]$ — пространство непрерывных на $[a; b]$ функций, первые $p$ производных которых также непрерывны. $\| f \| = \sum\limits_{k=0}^p \max\limits_{t \in [a; b]} | f^{(k)}(t)|$
 +
 +
$ \| f - g \| \le \varepsilon$ — равномерная близость $k$-тых производных, так как получаем, что $\max\limits_{[a; b]} | f^{(k)}(t) - g^{(k)}(t)| < \varepsilon$.
 +
 +
Для $C^{\infty} [a; b]$ эта формула не выполняется.
 +
 +
{{Определение
 +
|definition=
 +
'''Полунорма''' — норма, которая может равняться нулю на ненулевых элементах пространства.
 +
}}
 +
 +
{{Определение
 +
|definition=
 +
Пусть $X$ — линейное пространство, $p_1 \dots p_n \dots$ — полунормы. Если для $x \in X$ из того, что $\forall k: p_k(x) = 0$ следует, что $x = 0$, $X$ называют '''счетно-нормированным пространством'''
 +
}}
 +
 +
$x = \lim\limits_{p \to \infty} x_p $ определеяется как то, что все $p_n(x - x_p) \xrightarrow[p \to \infty]{} 0$, то есть $p$ гарантирует единственность предела: если $x' = \lim\limits_{p \to \infty} x_p$, все $p_n(x' - x_p) \to 0$, $p_n(x - x') \le p_n(x - x_p) + p_n(x' - x_p)$, то есть при стремлении $p$ к нулю, $p_n(x - x')$ тоже стремится к нулю и $x = x'$.
 +
 +
Счетно-нормированные пространства можно нормировать как $\mathbb{R}^{\infty}$: $\rho(x, y) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} {1 \over 2^n} 2{p_n(x - y) \over 1 + p_n(x - y)}$.
 +
 +
Пример:
 +
* $X = C^{(\infty)}[a; b]$, $p_n(x) = \max\limits_{t \in [a; b]} |x^{(n)}(t)|$, следовательно, его можно рассматривать как счетно-нормированное пространство и как метрическое.
 +
 +
Возникает вопрос в каком случае можно нормировать: существует норма, сходимость в которой эквивалентна сходимости по системе полунорм. TODO пшшш какая-то непонятная хрень про монотонность полунорм. Две системы полунорм эквивалентны, если они порождают одну и ту же сходимость.
 +
 +
Можно считать, что система полунорм удовлетворяет условию монотонности, так как произвольную систему $\{ p_n \}$ можно преобразовать в $q_n = \sum\limits_{k=1}^n p_k$, которая определяет ту же сходимость, что и исходная TODO: показать это чтоли
 +
 +
{{Определение
 +
|definition=
 +
Пусть заданы системы $\{p_n\}, \{q_n\}$ на $X$, тогда $\{q_n\}$ '''мажорирует''' $\{p_n\}$ если $\forall p_n \exists q_{m_n} \forall x \in X: p_n(x) < c_n q_{m_n}(x)$, $c_n$ — константа.
 +
}}
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
</wikitex>

Версия 16:18, 2 января 2013

Эта статья находится в разработке!

<wikitex> $C^p [a; b]$ — пространство непрерывных на $[a; b]$ функций, первые $p$ производных которых также непрерывны. $\| f \| = \sum\limits_{k=0}^p \max\limits_{t \in [a; b]} | f^{(k)}(t)|$

$ \| f - g \| \le \varepsilon$ — равномерная близость $k$-тых производных, так как получаем, что $\max\limits_{[a; b]} | f^{(k)}(t) - g^{(k)}(t)| < \varepsilon$.

Для $C^{\infty} [a; b]$ эта формула не выполняется.


Определение:
Полунорма — норма, которая может равняться нулю на ненулевых элементах пространства.


Определение:
Пусть $X$ — линейное пространство, $p_1 \dots p_n \dots$ — полунормы. Если для $x \in X$ из того, что $\forall k: p_k(x) = 0$ следует, что $x = 0$, $X$ называют счетно-нормированным пространством


$x = \lim\limits_{p \to \infty} x_p $ определеяется как то, что все $p_n(x - x_p) \xrightarrow[p \to \infty]{} 0$, то есть $p$ гарантирует единственность предела: если $x' = \lim\limits_{p \to \infty} x_p$, все $p_n(x' - x_p) \to 0$, $p_n(x - x') \le p_n(x - x_p) + p_n(x' - x_p)$, то есть при стремлении $p$ к нулю, $p_n(x - x')$ тоже стремится к нулю и $x = x'$.

Счетно-нормированные пространства можно нормировать как $\mathbb{R}^{\infty}$: $\rho(x, y) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} {1 \over 2^n} 2{p_n(x - y) \over 1 + p_n(x - y)}$.

Пример:

  • $X = C^{(\infty)}[a; b]$, $p_n(x) = \max\limits_{t \in [a; b]} |x^{(n)}(t)|$, следовательно, его можно рассматривать как счетно-нормированное пространство и как метрическое.

Возникает вопрос в каком случае можно нормировать: существует норма, сходимость в которой эквивалентна сходимости по системе полунорм. TODO пшшш какая-то непонятная хрень про монотонность полунорм. Две системы полунорм эквивалентны, если они порождают одну и ту же сходимость.

Можно считать, что система полунорм удовлетворяет условию монотонности, так как произвольную систему $\{ p_n \}$ можно преобразовать в $q_n = \sum\limits_{k=1}^n p_k$, которая определяет ту же сходимость, что и исходная TODO: показать это чтоли


Определение:
Пусть заданы системы $\{p_n\}, \{q_n\}$ на $X$, тогда $\{q_n\}$ мажорирует $\{p_n\}$ если $\forall p_n \exists q_{m_n} \forall x \in X: p_n(x) < c_n q_{m_n}(x)$, $c_n$ — константа.




</wikitex>