Композиция отношений — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м
Строка 9: Строка 9:
  
 
Степень отношения <math>R^{n} \subseteq A\times A</math>, определяется следующим образом:
 
Степень отношения <math>R^{n} \subseteq A\times A</math>, определяется следующим образом:
 +
 
<math> R^{n} = R^{n-1} \circ R; </math>
 
<math> R^{n} = R^{n-1} \circ R; </math>
  
Строка 16: Строка 17:
  
 
В связи с этим понятием, также вводятся обозначения:
 
В связи с этим понятием, также вводятся обозначения:
 +
 
<math> R^{+} = \cup^{\infty}_{i=1} R^{i}; </math>
 
<math> R^{+} = \cup^{\infty}_{i=1} R^{i}; </math>
 +
 
<math> R^{*} = \cup^{\infty}_{i=0} R^{i} </math> - [[Транзитивное замыкание]] множества R
 
<math> R^{*} = \cup^{\infty}_{i=0} R^{i} </math> - [[Транзитивное замыкание]] множества R
  
Строка 24: Строка 27:
  
 
<math> aR^{-1}b \Leftrightarrow bRa </math>
 
<math> aR^{-1}b \Leftrightarrow bRa </math>
 +
 +
Ядром отношения R называется отношение <math> R\circ R^{-1} </math>

Версия 18:07, 28 сентября 2010

Определение

Композицией бинарных отношений [math]R\subseteq A\times B[/math] и [math]S\subseteq B\times C[/math] называется такое отношение [math] R \circ S [/math], что:

[math]\forall a, c: a(R\circ S)c \Leftrightarrow \exists b\in B\mid (aRb)\and (bSc)[/math].

Примером такого отношения может служить отношение на некотором множестве [math]A[/math] населенных пунктов [math]R\subseteq A\times A[/math] - отношение "можно доехать на поезде", а [math]S\subseteq A\times A[/math] - отношение "можно доехать на автобусе". Тогда отношение [math]R\circ S\subseteq A\times A[/math] - отношение "можно добраться из А в Б, сначала проехав на поезде, а потом на автобусе(только по одному разу)".

Степень отношений

Степень отношения [math]R^{n} \subseteq A\times A[/math], определяется следующим образом:

[math] R^{n} = R^{n-1} \circ R; [/math]

[math] R^1 = R; R^0 = \{ (x, x) \mid x\in A\}[/math]

В связи с этим понятием, также вводятся обозначения:

[math] R^{+} = \cup^{\infty}_{i=1} R^{i}; [/math]

[math] R^{*} = \cup^{\infty}_{i=0} R^{i} [/math] - Транзитивное замыкание множества R

Обратное отношение

Отношение [math]R^{-1} \subseteq B\times A[/math] называют обратным для отношения [math] R \subseteq A\times B[/math], если:

[math] aR^{-1}b \Leftrightarrow bRa [/math]

Ядром отношения R называется отношение [math] R\circ R^{-1} [/math]