Участник:Yulya3102/Матан3сем — различия между версиями

Версия 01:01, 15 января 2013

Содержание

1 Основные вопросы
2 Определения и факты
3 Примеры

Основные вопросы

Список теорем

Теоремы без доказательств

Признак Дирихле равномерной сходимости функционального ряда

Многомерная формула Тейлора (с остатком в форме Лагранжа и Пеано) — уже есть все идеи доказательства, осталось его выписать, если кому-то не лень.

Теорема о неявном отображении Доказательство появилось

Асимптотика интеграла — много писать =(

Метод Лапласа вычисления асимптотики интегралов — много писать =(

Признак Вейерштрасса

Теорема:

Рассмотрим ряд , где (— метрическое пространство). Пусть есть ряд — сходящийся, такой, что . Тогда равномерно сходится на .

Доказательство:

Теорема Стокса--Зайдля для рядов

Теорема:

Пусть ряд , где ( — метрическое пространство), равномерно сходится на . Пусть есть точка , такая, что все непрерывны в . Тогда непрерывна в точке .

Доказательство:

1) — непрерывна в [math] (\cdot) x_0 [/math]

2)

из 1) и 2) непрерывна в

Теорема об интегрировании функционального ряда

Теорема:

Пусть ( — множество непрерывных функций), равномерно сходится на , .

Тогда[math] * [/math]

[math] * [/math] 1) [math] S(x) [/math] — непрерывно [math] \rightarrow [/math] интеграл имеет смысл.

2) Правая часть имеет смысл — это следует из доказательства.

Доказательство:

Сделаем предельный переход по [math]N[/math]

Теорема о дифференцировании функционального ряда

Теорема:

Пусть ( — множество непрерывно дифференцируемых функций).

1) поточечно сходится на [math] [a; b] [/math]

2) равномерно сходится при [math] x \in [a, b] [/math]

Тогда и .

Доказательство:

Следует из т. о предельном переходе под знаком производной (прошлый семестр).

[math] f_n \to f [/math] — поточечно на при

Тогда [math] f [/math] — дифф. на .

Тогда

Теорема о почленном предельном переходе в суммах

Теорема:

Пусть , .

1)

2) [math] \sum u_n(x) [/math] равномерно сходится на

Тогда

1) [math] \sum a_n [/math] — сходится

2)

Доказательство:

1) — имеет предел

Критерий Больцано-Коши [math] \lim S_n^{(a)} = S^{(a)} [/math]

Берём [math] \forall \epsilon \gt 0 [/math] из р. сх-ти

При данном

Выберем [math] x [/math] так близко к [math] x_0 [/math], чтобы

— непр. равномерно в [math] (\cdot) x_0 [/math]

[math] \sum \hat{u}_n(x) [/math] — р. сх. на [math] \langle a, b \rangle [/math]

Утв. 2 следует из т. 1. Стокса-Зайдля для рядов

Теорема о перестановке пределов

()

Теорема:

Пусть , [или даже — предельная точка ]

1) [math] f_n(x) [/math] сходится равномерно к [math] S(x) [/math] при

2)

Тогда

1)

2)

Доказательство:

Тогда:

Условие 1: [math] \sum u_n [/math] р. сх. к сумме [math] S(x) [/math]

[math] u_n = f_n - f_{n - 1} [/math]

Условие 2: (при [math] n = 1[/math] проявить сообразительность)

по теореме о почл. пр. переходе в суммах:

1) [math] \sum a_k [/math] — сх., т.е.

2)

Замечание: верна теорема [math] f(x, y) [/math]

при условии 1: — и этот предел равномерный

Признак Дирихле равномерной сходимости функционального ряда

Теорема:

Пусть есть ряд ,

1) частичные суммы ряда равномерно ограничены, т.е.

2) [math] b_n(x) [/math] монотонна по [math] n [/math] и равномерно сходится к [math] 0 [/math]

Тогда равномерно сходится на .

Метод суммирования Абеля

Теорема:

Пусть сходится. Рассмотрим функцию . Тогда .

Доказательство:

[math] \sum a_n b_n [/math] — по признаку Абеля равномерно сх-ся [math][0, 1][/math]

Теорема о круге сходимости степенного ряда

Теорема:

Пусть — произвольный степенной ряд — комплексная переменная или

Возможны три случая:

1) [math] \forall z \in \mathbb{C} [/math] ряд [math] (A) [/math] сходится

2) [math] (A) [/math] сходится только при [math] z = z_0 [/math]

3) [math] \exists R [/math] [math] 0 \lt R \lt + \infty [/math] при

[math] |z - z_0| \lt R [/math] сходится

[math] |z - z_0| \gt R [/math] расходится

— радиус сходимости

Доказательство:

Нужно доказать абсолютную сходимость

Признак Коши:

1) [math] \overline{lim} = 0 [/math] при всех [math] z [/math] ряд [math] (A) [/math] сходится абсолютно

2) при , т.е. ряд сходится

при расходится (слагаемые [math] \nrightarrow 0 [/math])

3) — конечен [math] = \frac{1}{R} [/math]

[math] |z - z_0| \lt R [/math] ряд [math] (A) [/math] сходится абсолютно

расходится (слагаемые )

Теорема о равномерной сходимости и непрерывности степенного ряда

Теорема:

Пусть ряд — радиус сходимости. Тогда:

1) Для [math] r : 0 \lt r \lt R [/math] ряд [math] (A) [/math] равномерно сходится в круге [math] \overline{B(z_0, r)} [/math]

2) В круге сумма ряда — непрерывна.

Доказательство:

(1) Признак Вейерштрасса

[math] \sum |a_n| \cdot r^n [/math] — сходится! т.к. [math] \sum a_n \cdot r^n [/math] — абс. сх.

(2) фиксируем [math] z \in B(z_0, R) [/math]; Возьмём

В ряд р. сх. и слагаемые непр. сумма непрерывна.

Линейные и комплексно линейные отображения. Уравнения Коши--Римана

Лемма:

Пусть — комплексно дифференцируема в точке . Тогда, если , отображение дифференцируемо в и выполнены соотношения:

(уравнения Коши-Римана)

Доказательство:

Википедия [1]

Теорема о почленном дифференцировании степенного ряда

Теорема:

Ряд

Тогда: 1) радиус сх-ти [math] (A') = R [/math]. 2) при

[Тогда — дифф. при и ]

Доказательство:

Проверим р. сх. ;

Тогда:

[math] \sum h|a_n|r^{n - 1} [/math] — сх. [math]\Rightarrow[/math] по признаку Вейерштрасса р. сх. при [math] |h| \lt r - |z - z_0| [/math]

Экспонента, синус, косинус. Свойства.

1.1) [math] \mathrm{exp}(0) = 1 [/math]

1.2)

1.3)

1.4)

Теорема:

Доказательство:

Следствие: [math] \mathrm{exp}(z) \ne 0 [/math] — ни при каких [math] z [/math]

2.1)

2.2)

2.3)

2.4)

2.5) Пусть [math] T(x) = \mathrm{exp}(ix) [/math]

[math] T(x+y) = T(x)T(y) [/math]

2.6)

2.7)

[math] \sum a_k \to [/math] Абель

Единственность производной

Теорема:

Производный оператор единственный.

Доказательство:

Покажем, что значение производного оператора [math]A[/math] на каждом векторе [math]h\in\mathbb{R}^n[/math] определяется однозначно. По линейности оператора [math]A\mathbb{O}_n=\mathbb{O}_m[/math]. Зафиксируем [math]h\ne\mathbb{O}_n[/math]. Возьмём достаточно малое по модулю (достаточно взять , где [math]B(x, r)\subset D[/math]) и подставим [math]th[/math] вместо [math]h[/math] в равенство из определения. По линейности [math]A[/math] имеем:

.

Перенеся [math]f(x)[/math] в левую часть и разделив на [math]t[/math], получим:

,

то есть

.

Лемма о покоординатной дифференцируемости

Лемма:

Дифференцируемость отображения в точке равносильна одновременной дифференцируемости всех его координатных функций в точке .

Доказательство:

Пусть [math]f[/math] дифференцируемо в точке [math]x[/math]. Запишем равенство из определения производного оператора покоординатно:

.

Координатные функции [math]A_i[/math] линейного оператора [math]A[/math] являются линейными, а непрерывность и равенство нулю в нуле отображения [math]\alpha[/math] равносильно такому же свойству его координатных функций [math]\alpha_i[/math]. Поэтому для [math]f_i[/math] выполнено определение дифференцируемости.

Обратно, пусть дифференцируемы в точке . Тогда для каждого существует линейная функция и функция , непрерывная и равная нулю в нуле, для которых выполняется равенство. Следовательно, для выполняется равенство из определения производного оператора, где — оператор с координатными функциями .

Необходимое условие дифференцируемости.

Теорема:

Пусть — дифференцируемо в точке

Тогда и матрица Якоби

Замечание: Для — дифференцируемо в точке ;

Доказательство:

— это св-во дифф-ти [math] \varphi_k [/math] в [math] \cdot (a) [/math] из опр. частн. производных.

Достаточное условие дифференцируемости

Теорема:

Пусть , в шаре существуют все и все производные непрерывны в точке . Тогда дифференцируема в точке

Доказательство:

[math] m = 2 [/math]

// [math] =^* [/math] — По теореме Лагранжа

// // [math] t [/math] — средняя точка

где: по модулю; при

Лемма об оценке нормы линейного оператора

Лемма:

Пусть — линейный оператор. Тогда , где ( — элементы его матрицы)

Доказательство:

[math] ||x|| = 0 [/math], т.е. если [math] x = 0 [/math], то тривиально

(КБШ)

[math] x^{(k)} \rightarrow x [/math]

Дифференцирование композиции

Теорема:

[math] F [/math] — дифф. в [math] (\cdot) a, G [/math] — дифф. в [math] (\cdot) b [/math];

Тогда: — дифф. в

Доказательство:

1.

2. [math] \beta(k)||k|| [/math]

Дифференцирование «произведений»

Лемма:

Пусть , , ; — дифференцируемые в . тогда:

1)

2)

(здесь — скалярное произведение и )

Доказательство:

1. Введём координатную ф-ю [math] F = (f_1 \ldots f_l) [/math]

— [math]i[/math]-ая коорд. док. ф-лы; [math] ]f_i \leftrightarrow f [/math]

— ограничена.

2. лин. дифф.

Замечание:

Теорема Лагранжа для векторнозначных функций

Теорема:

— непр. на и дифф. на Тогда:

Доказательство:

// Если ехать быстро и криво

при [math] \forall t [/math]

// — длина дуги; — длина хорды

Экстремальное свойство градиента

Теорема:

— дифф. в

— направление

Тогда [math] l [/math] указывает напр-е наискорейшего возр. ф-и, а [math] -l [/math] самого быстрого убывания.

Более того: напр. равенство достижимо для

Доказательство:

// [math] u = 1 [/math]

//

Независимость частных производных от порядка дифференцирования

Теорема:

— опр. в окр. [math] (\cdot) a [/math], дифф. в окр. [math] (\cdot) a [/math]

и — непр. в [math] (\cdot) a [/math]

Тогда эти две частные производные равны.

Доказательство:

— задано при

фикс.

[math] \bar h, \bar k [/math] — средние точки

Замечание 1:

Аналогично:

— опр. в окр. — непр. в [math] (\cdot) a [/math]

Замечание 2:

Если [math] f [/math] сущ. част. пр. [math]k[/math]-того порядка в окр. [math](\cdot)a[/math] и все они непр. в [math](\cdot)a[/math]

Для [math] \forall i_1 \ldots i_k [/math] — индексы [math] \in \{ 1 \ldots m \} [/math]

и [math] \forall j_1 \ldots \j_k [/math] — которые получаются из набора [math] i_1 \ldots i_k [/math] перестановка

Верно:

Полиномиальная формула

Лемма:

Если , — мультииндекс, - вектор, то

Доказательство:

Индукция по [math]r[/math]

[math] r = 1 [/math]

[math] r = r + 1 [/math]

<ещё [math] m - k [/math] суммы> = ;

[math] \beta_1 \ge 1 .. [/math] — это ограничение можно убрать, т.к. все слагаемые с [math] \beta_1 = 0 [/math] имеют нулевой индекс

Замечание 1

Замечание 2

Лемма о дифференцировании «сдвига»

Лемма:

Пусть , открыто в , , так, что . Также . Пусть . Тогда верно .

Доказательство:

Доказательства нет, есть пример, из которого можно придумать доказательство по индукции, наверное.

Многомерная формула Тейлора (с остатком в форме Лагранжа и Пеано)

Лагранж:

Теорема:

Пусть , открыто в , . Тогда существует такое , что .

Доказательство:

[math]f(a+h) = \phi(1)[/math]

Разложили по одномерной формуле Тейлора в точке 0, используя лемму о дифференцировании сдвига, — получили то, что нужно.

Также можно обозначить точки через [math] x [/math] и [math] x + h [/math], тогда формула запишется в виде .

Пеано:

Теорема:

Пусть , открыто в , . Тогда .

Теорема о пространстве линейных отображений

Теорема:

— норма в пр-ве , то есть

Доказательство:

[math](1)[/math]

1. очевидно // для [math] x \in B(0, 1) [/math]

2. очевидно, св-ва [math] sup [/math]. Википедия[2]

3. \\ [math] ||A|| + ||B|| = C [/math]

[math](2)[/math]

\\

Теорема Лагранжа для отображений

Теорема:

откр. дифф.

Тогда:

Доказательство:

//

Теорема об обратимости линейного отображения, близкого к обратимому

Теорема:

Пусть ( — множество обратимых линейных операторов в ), . Тогда:

1) ;

2) ;

3) .

Доказательство:

Лемма: пусть

Тогда [math]B[/math] — обратим, [math]||B^{-1}|| \le \frac{1}{c}[/math]

Это правда, потому что , значит, [math]B[/math] — биекция(пусть )

Неравенство получается из [math]|Bx| \ge c|x|[/math] заменой [math]Bx=y, x = B^{-1}y[/math]

Само доказательство:

По условию теоремы множитель в последней части больше нуля, поэтому по лемме [math]B[/math] обратим, по этой же лемме выполнено 2).

Теорема о непрерывно дифференцируемых отображениях

Теорема:

Пусть , где открыто, дифференцируемо на . Тогда эквивалентны утверждения:

[math] I) F \in C^{1}(E) [/math]

— непрерывна.

Доказательство:

[math] I \Rightarrow II [/math]

? [math] F' [/math] непр. в [math] (\cdot) \overline{X} [/math]

[math] \forall \epsilon \gt 0 [/math] выберем ; при

[math] II \Rightarrow I [/math]

[math] F' [/math] — непрерывна. [math] e_1 \ldots e_m [/math] — нормированный базис [math]\mathbb{R}^m[/math]

Точно также:

Необходимое условие экстремума. Теорема Ролля

Необходимое условие экстремума:

Теорема:

Пусть открыто — точка лок. экстремума. — дифф. на . Тогда (т.е. )

Доказательство:

Меняем на , по теореме Ферма из первого семестра . Из этого следует, что все частные производные в точке a равны нулю, что нам и было нужно.

Теорема Ролля:

Теорема:

Пусть компакт , дифференцируемо на , на (граница ), — непр. на . Тогда существует .

Доказательство:

Если [math]f[/math] постоянна на [math]K[/math], то утверждение очевидно.

Если нет, то по теореме Вейерштрасса на компакте достигает наибольшего или наименьшего значения в какой-то точке, а по необходимому условию экстремума в этой точке градиент равен нулю.

Лемма об оценке квадратичной формы и об эквивалентных нормах

Утверждение:

1) Если квадратичная форма положительно определена, то существует такое , что для всех
2) Пусть — норма. Тогда .

1)

(Сфера [math] \{ x : |x| = 1 \} [/math] — компакт по теореме Вейерштрасса [math] \exists min [/math])

[math] x = 0 : \text{ok} [/math]

[math] h(tx) = t^2 h(x) [/math]

2) — по т. Вейерштрасса (т.к. [math]p(x)[/math] — непр.)

[math] x = 0 : \text{triv} [/math]

Достаточное условие экстремума

Теорема:

Пусть открыто в , дифф. на — стационарная точка (то есть ). — кв. форма.

Тогда справедливы следующие утверждения:

1) Если [math] Q(h) [/math] положительно определённая, то [math] a [/math] — точка минимума (локального).

2) Если [math] Q(h) [/math] отрицательно определённая, то [math] a [/math] — точка максимума (локального).

3) Если [math] Q(h) [/math] не знакоопределённая, то [math] a [/math] — не точка экстремума.

4) Если положительно/отрицально опр. вырожденное, то (?) может быть макс., мин. требуется исследование

Доказательство:

// [math] |h_i| \lt |h| [/math]

Выберем [math] U(a) [/math] так, чтобы при [math] a + h \in U(a) [/math]

Таким образом [math]a[/math] точка локального минимума

[math](3) : Q(h) [/math] — не знакоопределён.

— при эта сумма из '?' б.м по модулю при малых

Лемма о почти локальной инъективности

Лемма:

Пусть — диффеоморфизм, . Тогда

Доказательство:

1) [math] F [/math] — линейное. [math] \exists (F'(x_0))^{-1} [/math]

2)

// при

Теорема о сохранении области

Теорема:

Пусть , где открыто — диффеоморфизм в , . Тогда открыто.

Замечание

1. Если [math] O [/math] — лин. связное и [math] F [/math] — непр. [math] \Rightarrow F(O) [/math] — лин. связное

2. Непрерывность — откр. [в ]

Доказательство:

[math] x_0 \in O; y_0 = F(x_0) [/math] — внутрення точка [math] F(O) [/math]?

при

Возьмем (S — сфера, т. е. граница шара)

Утверждение: [math] B(y_0, r) \subset F(O) [/math]

Т.е.:

[math] x \in B(x_0, \delta[/math]

[math] min \varphi [/math] — внутри [math] B(x_0, \delta) [/math]

В точке .

На сфере [math] S(x_0, \delta) [/math]:

[math] \varphi [/math] — имеет [math] (\cdot) min [/math] внутри шара [math] B(x_0, \delta) [/math] по теореме Вейерштрасса

в точке минимума (у системы есть только тривиальное решение)

Теорема о диффеоморфизме

Теорема:

Пусть , — обратима и невырождена, .

Тогда:

1) [math] F^{-1} \in C^r [/math]

2)

Доказательство:

1) [math] r = 1 [/math]

[math]F(O) = O' [/math] — открытое

Пусть [math] S = F^{-1}, S : O' \to O[/math]

Пусть [math] U \subset O[/math] — открытое, тогда [math] S^{-1}(U) [/math] — открытое.

[math] T : X \to Y[/math] — непрерывное отображение — открыто. // Мне кажется, из определения диффеоморфизма и предыдущей теоремы следует, что обратное отображение тоже диффеоморфизм и предыдущие строчки и так очевидны.

[math] T [/math] — диффеоморфизм, матрица [math]T'(x_0)[/math] невырождена [math]\Rightarrow[/math] // По лемме о почти локальной инъективности

Возьмём [math] c, \delta [/math] из леммы.

Пусть [math] T = F'(x_0) [/math]

Можно считать, что [math] y [/math] близко к [math] y_0 [/math], так что

2) — любое. (без доказательства)

Теорема о локальной обратимости

Теорема:

Пусть , где открыто; Тогда — диффеоморфизм ( или — сужение отображения на множество ).

Доказательство:

Нужно проверить лишь: [math] \exists U(x_0) : F|_U [/math] — обратима

[так как можно считать что [math] \det F'(x) \ne 0 [/math] на открыто и [math] F^{-1} [/math] определено на открытом множестве и дифференцируемо по предыдущим теоремам]

// Это какая-то хрень, к тому же она в конце не доказана. Надо проверить, что , тогда отображение будет биекцией.

Замечание

[math] \det F' \ne 0 [/math] — нужно для дифференцируемости.

— не дифференцируемо в нуле

Теорема о неявном отображении

Теорема:

Пусть , где открыто, . Пусть известно, что невырождено (). Тогда:

1) существуют открытые , и существует единственное , что

Раньше тут был забыт минус!

2)

Доказательство:

Пусть [math]\Phi(x, y) = (x, F(x,y))[/math].

[math]\Phi(a, b) = (a, 0)[/math]

.

По теореме о локальной обратимости [math]\exists{U(a,b)}[/math] — такая, что [math]\Phi[/math] — диффеоморфизм в данной окрестности.

Тогда существует обратное отображение [math]\Psi(u, v) = (u, H(u, v))[/math].

Почти очевидно, что [math]\varphi(x) = H(x, 0)[/math].

Берем производную — получаем 2):

Теорема о задании гладкого многообразия системой уравнений

Теорема:

Пусть (гладкое многообразие), .

Эквивалентные утверждения:

1) — простое [math] k [/math]-мерное многообразие

2) [math] \exists \tilde{U}(p) [/math] и существуют функции класса [math] C^r [/math], для которых выполняются условия:

2.1)

2.2) — линейно независимые

Доказательство:

[math] 1 \Rightarrow 2 [/math]

— параметризация — матрица [math] m \times k [/math]

[math] Rg \Phi'(t_0) = k [/math] — реализуется на первых [math] k [/math] степенях

[math] 2 \Rightarrow 1 [/math]

Очевидно: [math] (L \circ \Phi)'(p) [/math] — невырожденно.

— диффеоморфизм на [math] W(t_0) [/math]

взаимно однозначное отображение [math] \Phi(W) [/math] на [math] V [/math]

[math] \Phi(W) [/math] — открыто в [math] M \Rightarrow \Phi(W) [/math] — реал. как [math] G \cap M, \ G [/math] — откр. в [math] \mathbb{R}^m [/math]

Необходимое условие относительного локального экстремума

Теорема:

Пусть , где открыто, . Пусть имеет в точке локальный относительный экстремум. Тогда , что

Доказательство:

Пусть ранг реализуется на столбцах . Переобозначим .

По теореме о неявном отображении:

[math] x \mapsto (x, \Psi(x)) [/math] — гл. параметризация

[math] g(x) = f(x, \Psi(x)) [/math]; Точка [math] a_x [/math] — лок. экстремум [math] g' [/math].

— необходимое усл. экстремума в матр. форме.

При таком [math] \lambda : [/math]

Вычисление нормы линейного оператора с помощью собственных чисел

Теорема:

Пусть . Тогда — собственное число .

Доказательство:

Простейшие свойства интеграла векторного поля по кусочно-гладкому пути

1) Линейность по векторному полю: .

— по линейному скалярному произведению

2) Аддитивность при дроблении пути:

.

3) Замена параметра: если — гладкая, , ,

Тогда .

4) Пусть — произведение путей:

то .

\\ заменить параметр

— противоположный путь (в обратную сторону)

5) Оценка интеграла:

Теорема:

, где — длина пути.

Доказательство:

Обобщенная формула Ньютона--Лебница

Теорема:

Пусть потенциально, — потенциал , — кусочно гладкий. Тогда .

Доказательство:

1) — доказано для гладкого пути

\\

2)

— гладкий

Характеризация потенциальных векторных полей в терминах интегралов

Теорема:

Если тогда эквиваленты следующие утверждение:

1) V потенциально в [math] O [/math]

2) Интеграл [math] V [/math] не зависит от пути (в обл. [math] O [/math])

3)

Доказательство:

[math] 1 \Rightarrow 2 [/math] — формула Ньютона-Лейбница

[math] 2 \Rightarrow 3 [/math] — очевидно

[math] \gamma [/math] — петля;

[math] 3 \Rightarrow 2 [/math] — очевидно

[math] 2 \Rightarrow 1 [/math]

Фиксируем точку

Возьмём как-нибудь путь [math] \gamma_x [/math] из [math] x_0 [/math] в [math] x [/math]

— потенциал?

Докажем, что (аналогично )

Выберем [math] B(x, r) \subset O [/math]

теорема о среднем

Лемма о дифференцировании интеграла по параметру

Лемма:

Пусть — непрерывна, дифференцируема по при любых и непрерывна на промежутке. Пусть . Тогда дифференцируема и .

Доказательство:

зависит от [math] x, y [/math]

[math] f'_y [/math] — непрерывна на [math] [a, b] \times [c, d] [/math]

— равномерная непрерывность

— определение предела.

Необходимое условие потенциальности гладкого поля. Лемма Пуанкаре

Теорема:

Пусть — гладкое потенциальное векторное поле в . Тогда

Доказательство:

— потенциал, обе части (— непр., т.к. — гладкое)

Лемма:

Пусть — выпуклое, — векторное поле в , гладкое и . Тогда — потенциальное.

Доказательство:

фиксируем

Лемма о гусенице

Лемма:

Пусть . Тогда существуют дробление и шары , что .

Доказательство:

[math] \forall c \in [a, b] [/math] — выберем шар

Пусть

[math] \forall c [/math] мы имеем [math] (\alpha_c, \beta_c) [/math] — открытое покрытие [math] [a, b] [/math] и [math] \exists [/math] конечное подпокрытие

Можно считать [math] \forall i \ \exists S_i [/math] — которое лежит в , но не лежит в

Лемма о равенстве интегралов по похожим путям

Лемма:

Пусть — кусочно-гладкие, похожие, — локально-потенциальное векторное поле, . Тогда .

Доказательство:

Cуществуют дробление и шары [math] B_1, ..., B_n \subset O [/math]

[math] \forall k [/math] в [math] B_k [/math] существует потенциал векторного поля [math] V [/math]

Пусть [math] f_1 [/math] — потенциал [math] V [/math] в [math] B_1 [/math], в [math] B_2 [/math] выберем потенциал

в [math] B_3 [/math] выберем и т.д.

Замечание

Лемма о похожести путей, близких к данному

Лемма:

Пусть . Тогда [любые два пути, мало отличающиеся от данного — похожие] такое, что если пути — «близкие» к , то есть , то похожи.

Доказательство:

Cуществуют дробление и шары [math] B_1, ..., B_n \subset O [/math] для [math] \gamma [/math]

[math] \gamma[t_{k - 1}, t_{k}] [/math] — компакт в [math] B_k [/math]

— удовл. и — гусеница реал. похож. путей

Равенство интегралов по гомотопным путям

Теорема:

Пусть — локально-потенциальное векторное поле в , — связанно гомотопны. Тогда . Тоже верно для петельной гомотопии.

Доказательство:

[math] \Gamma [/math] — гомотопна.

. Проверим, что [math] \Phi [/math] — локальная постоянная

при [math] u \in W(u_0) : \Phi [/math] — постоянна)

— равномерно непрерывна.

верно

Потенциальность локально потенциального поля. Следствие о лемме Пуанкаре

Теорема:

Пусть — односвязная область, — локально потенциальное поле в . Тогда потенциально.

Доказательство:

[math] V [/math] — потенциально

По предыдущей теореме: — гомотопия пост. пути

Следствие: если [math] O [/math] — односвязная, , то [math] V [/math] — потенциально.

Асимптотика интеграла $\int_0^{\pi/2}\cos^nx\,dx$, $n\no+\infty$

Теорема:

Лемма о локализации (в методе Лапласа)

Лемма:

Пусть непрерывна, на строго монотонно убывает, непрерывна. Тогда .

Доказательство:

// последняя экспонента с большим показателем

Метод Лапласа вычисления асимптотики интегралов

Теорема:

Пусть на , непрерывна, непрерывна, строго убывает, . Тогда .

Теорема Вейерштрасса о приближении функций многочленами

Теорема:

Пусть непрерывна на . Тогда существует многочлен , что .

Доказательство:

// Можно считать

Заметим, что:

— достигается при [math] t = x [/math]

Замечание

[math] \forall f [/math] — непр. на — многочлен : на [math] [a, b] [/math]

Формула Стирлинга для Гамма-функции

Теорема:

Доказательство:

// [math] \varphi(u) = -(n \ln u) [/math]

//

Определения и факты

Равномерно сходящийся ряд

Определение:

Последовательность функций называется равномерно сходящейся на множестве , если существует предельная функция и для любого числа можно указать число такое, что при и . В этом случае пишут . Функциональный ряд называется равномерно сходящимся на множестве , если равномерно сходится на этом множестве последовательность его частичных сумм.

Признак Абеля равномерной сходимости

Теорема:

Рассмотрим ряд , :

1) [math] \sum a_n(x) [/math] равномерно сходится, [math] x \in X [/math]

2) [math] b_n(x) [/math] равномерно ограничена и монотонна по [math] n [/math]

Тогда равномерно сходится на .

Радиус сходимости степенного ряда

см. Теорема о круге сходимости степенного ряда пункт 3.

Формула Адамара

Определение:

Число — радиус сходимости.

Комплексная производная

Определение:

Пусть . Тогда .

Экспонента, синус и косинус комплексной переменной

Определение:

Отображение, бесконечно малое в точке

Определение:

Пусть , . — бесконечно малое при , если . ( — -мерный ноль)

o(h) при h->0

Определение:

Пусть . при , если — бесконечно малая при .

Дифференцируемое отображение

Определение:

Пусть ( — множество внутренних точек (внутренность) множества D). Если существует такой линейный оператор ( — множество линейных ограниченных операторов из в ), что

,

то отображение называется дифференцируемым в точке . При этом оператор называется производным оператором, производным отображением или, короче, производной отображения в точке и обозначается .

Производный оператор

Определение:

Оператор из определения производной называется производным оператором отображения в точке .

Дифференциал отображения

Определение:

Величина называется дифференциалом отображения в точке , соответствующим приращению , и обозначается или .

Матрица Якоби

Определение:

Пусть отображение дифференцируемо в точке . Матрица оператора называется матрицей Якоби отображения в точке .

Частные производные

Определение:

Пусть . Производная (где — это орт (т.е. единичный вектор — вектор, норма которого равна 1)) называется частной производной функции по -ой переменной в точке и обозначается ещё .

Производная по вектору, по направлению

Определение:

Пусть , , . Предел называется производной функции по вектору в точке и обозначается или . Если , то вектор называется направлением, а производная по нему — производной по направлению .

Градиент

Определение:

Пусть . Если существует такой вектор , что , то функция называется дифференцируемой в точке . Вектор-строка называется градиентом функции в точке и обозначается или . Символ называется символом или оператором Гамильтона или оператором Набла.

Частная производная второго порядка, k-го порядка

Определение:

Предположим, что и частные производные порядка уже определены. Пусть . Частная производная функции порядка по переменным с номерами в точке определяется равенством , если правая часть существует.

Классы функций $C^k(E)$

Определение:

Множество функций, раз непрерывно дифференцируемых на открытом подмножестве пространства , обозначается или . По определению — класс непрерывных на функций. Через обозначается класс бесконечно дифференцируемых на функций.

Мультииндекс и обозначения с ним

Определение:

Вектор называют мультииндексом. Величину называют высотой мультииндекса .

Если [math] k = (k_1, .., k_n) [/math] — мультииндекс, [math] (k) \leqslant r [/math], то частную производную порядка [math] k [/math] (порядком частной производной называют как сам мультииндекс, так и его высоту) функций класса [math] C^{(r)} [/math] обозначают . Также полагают , , где [math] h \in \mathbb{R}^n [/math].

Формула Тейлора (различные виды записи)

Из теорем:

С остатком в интегральной форме:

Формула в дифференциалах:

Формула в координатах:

$n$-й дифференциал

Определение:

Пусть . Тогда:

, где — количество способов получить дифференциал, выбирая разный порядок.

Норма линейного оператора

Напомним, что норма в векторном пространстве [math] X [/math] над [math] \mathbb{R} [/math] — функция [math] p: X \to \mathbb{R}_+ [/math], удовлетворяющая аксиомам нормы: положительная определённость ([math] p(x) = 0 [/math] тогда и только тогда, когда [math] x = 0 [/math]), положительная однородность (, где [math] \lambda [/math] — скаляр), неравенство треугольника (). Аналогично для матриц (там [math] \lambda \in \mathbb{R} [/math]).

Определение:

Пусть — нормированные пространства (оба вещественные или оба комплексные), — линейный оператор. Нормой оператора называется величина .

Локальный максимум, минимум, экстремум

Определение:

Пусть . Если существует такая окрестность точки , что для любого выполняется неравенство:

[math] f(x) \leqslant f(x_0) [/math], то [math] x_0 [/math] называется точкой максимума функции [math] f [/math];

[math] f(x) \lt f(x_0) [/math], то [math] x_0 [/math] называется точкой строгого максимума функции [math] f [/math].

Аналогично определяются точки минимума и строгого минимума. Если является точкой (строгого) максимума или минимума функции , то называется точкой (строгого) экстремума .

Положительно-, отрицательно-, незнако- определенная квадратичная форма

Определение:

Пусть — квадратичная форма от переменных.

1) Если [math] K(h) \gt 0 [/math] для всех , то форма [math] K [/math] называется положительно определённой.

2) Если [math] K(h) \lt 0 [/math] для всех , то форма [math] K [/math] называется отрицательно определённой.

3) Если форма [math] K [/math] принимает значения разных знаков, то [math] K [/math] называется неопределённой.

4) Если для всех и существует такое , что , то форма называется положительно (отрицательно) полуопределённой.

Диффеоморфизм

Определение:

Отображение , где открыто, называется диффеоморфизмом, если оно дифференцируемо в , обратимо, и обратное к нему тоже дифференцируемо.

Формулировка теоремы о неявном отображении в терминах систем уравнений

Теорема:

Дана система из уравнений для функций от переменных. Функции дифференцируемы раз.

Пусть удовлетворяет системе, . Тогда существует и существует единственное отображение такие, что удовлетворяет системе.

Гладкое простое $k$-мерное многообразие в {\mathbb R}^m

Определение:

— простое -мерное многообразие, если . называется параметризацией. Если ( — ранг), то — простое гладкое (класса ) -мерное многообразие.

Относительный локальный максимум, минимум, экстремум

Определение:

Пусть ( — уравнение связи). Тогда — локальный относительный (условный) экстремум при условии . Это значит, что — локальный экстремум . Если , то — локальный минимум (строгий), если , то — локальный минимум (строгий). Аналогично задаются локальные максимумы.

Или в стиле определения обычного экстремума:

Определение:

Пусть . Если и существует такая окрестность точки , что для любого , удовлетворяющего условию , выполняется равенство , то называется точкой условного или относительного максимума функции при условии связи .

Формулировка достаточного условия относительного экстремума

Утверждение:

Пусть для точки выполняются условия теоремы о необходимом условии относительного экстремума. Пусть — решение уравнения . Рассмотрим квадратичную форму , где — функция Лагранжа (, — условия), где взяты из условия «подозрительности» точек. Тогда если :

1) положительно определена, то [math] a [/math] — точка локального относительного минимума;

2) отрицательно определена, то [math] a [/math] — точка локального относительного максимума;

3) незнакоопределена, то [math] a [/math] — не точка локального относительного экстремума;

4) знакоопределена, но вырождена, то неизвестно, является ли точкой локального относительного экстремума.

Кусочно-гладкий путь

Определение:

Путь — , непрерывное

[math] L = \varphi([a; b]) [/math] — носитель пути («кривая»)

— кусочно-гладкий путь, если существует дробление такое, что — гладкий путь.

Интеграл векторного поля по кусочно-гладкому пути

Определение:

, где открыто — векторное поле. Рассматриваем только непрерывные векторные поля

[math] V [/math] — гладкое векторное поле, если

Пусть — непрерывное векторное поле в , — кусочно-гладкий путь в : . Тогда интеграл векторного поля по пути равен , где .

Потенциальное векторное поле

Определение:

Пусть ( — область). потенциально в , если существует потенциал , где дифференцируемо в , такой, что .

Потенциал векторного поля

Определение:

из предыдущего определения — потенциал.

Локально-потенциальное векторное поле

Определение:

— локально-потенциальное, если такое, что — потенциальное в .

Интеграл локально-потенциального векторного поля по произвольному пути

Определение:

Интеграл локально-потенциального векторного поля по произвольному пути равен его интегралу по кусочно-гладкому пути, близкому к данному.

Гомотопия путей, связанная, петельная гомотопия

Определение:

Пусть . — гомотопия этих путей, если она непрерывна и . Связанная гомотопия — . Петельная гомотопия — .

Односвязная область

Определение:

Область — односвязная, если любая петля в стягиваема: — петельно гомотопные пути, .

Примеры

Производная линейного отображения

[math]L'(x) = L[/math]

По определению:

[math]L(x + h) - L(x) = L(h)[/math]

Правило цепочки: запись в координатах

n-угольник максимальной площади, вписанный в окружность

Равносторонний [math]n[/math]-угольник.

школьное доказательство.

Нормальное доказательство:

Пусть углы, под которыми видны стороны многоугольника из центра окружности равны [math]a_1, a_2, ... a_n[/math]. Необходимо максимизировать . Выразим последний угол (из условия, что сумма углов равна [math]2\pi[/math]) и будем максимизировать следующую функцию от [math]n-1[/math] переменной: .

Возьмем производную по каждой координате и приравняем к нулю:

Откуда получаем [math]a_1 = a_2 = ... = a_{n-1}[/math]. Поскольку все углы лежат в приделах [math](0..\pi)[/math], то из первого уравнения находим [math]a_1 = 2\pi / n[/math]. То, что это решение и есть максимум очевидно.

Непотенциальное векторное поле

Односвязная область

Двумерная плоскость, без всяких вырезов — в ней всякая петля стягиваема.

@@ Строка 1722: / Строка 1722: @@
 Нормальное доказательство:
-Пусть углы, под которыми видны стороны многоугольника из центра окружности равны <tex>a_1, a_2, ... a_n</tex>. Необходимо максимизировать <tex>0.5 R^2 (sin(a_1) + sin(a_2) + ... + sin(a_n)) = 0.5 R^2 (sin(a_1) + sin(a_2) + ... - sin(a_1 + a_2 + ... + a_{n-1})</tex>.
+Пусть углы, под которыми видны стороны многоугольника из центра окружности равны <tex>a_1, a_2, ... a_n</tex>. Необходимо максимизировать <tex>\frac{1}{2} R^2 (sin(a_1) + sin(a_2) + ... + sin(a_n))</tex>. Выразим последний угол (из условия, что сумма углов равна <tex>2\pi</tex>) и будем максимизировать следующую функцию от <tex>n-1</tex> переменной: <tex>\frac{1}{2} R^2 (sin(a_1) + sin(a_2) + ... - sin(a_1 + a_2 + ... + a_{n-1}))</tex>.
 Возьмем производную по каждой координате и приравняем к нулю: