Линейные ограниченные операторы

Эта статья находится в разработке!

Будем рассматривать пару пространств [math]X, Y[/math] и оператор [math]A: X \rightarrow Y[/math].

Определение:

Оператор [math]A[/math] называется линейным, если [math]A(\alpha x_1 + \beta x_2) = \alpha A(x_1) + \beta A(x_2)[/math].

Определение:

Нормой оператора [math]A[/math] называется [math]\|A\| = \sup\limits_{\|x\| = 1} \| Ax \|[/math].

Определение:

Оператор [math]A[/math] ограничен, если [math]\|A\| \le \infty[/math].

Определение:

Оператор [math]A[/math] непрерывен в точке [math]x_0[/math], если [math]\lim\limits_{x \rightarrow x_0} Ax = Ax_0[/math].

Так же, как и в случае с линейным функционалом, можно показать, что ограниченность линейного оператора равносильна его непрерывности (копипаста из 2 семестра)

Теорема:

Линейный оператор непрерывен тогда и только тогда, когда он ограничен.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math]\mathcal{A}[/math] — ограничен, значит, [math] \left \| \mathcal{A}(x) \right \| \le m \left \| x \right \|, m \ge 0[/math] [math]\left \| \mathcal{A} \left( \Delta x \right) \right \| \le m \left \| \Delta x \right \| [/math] [math] \mathcal{A} \left( \Delta x \right) \xrightarrow [\Delta x \to 0]{} 0 [/math]. А непрерывен в 0, следовательно, непрерывен и на X. Пусть [math]\mathcal{A}[/math] — непрерывен на X, в частности, в [math]0[/math], тогда: Подставляем в определение [math]\varepsilon = 1: ~ \exists \delta \gt 0: \forall z: \left \| z \right \| \le \delta \Rightarrow ~ \left \| \mathcal{A}(z) \right \| \le \varepsilon = 1[/math] Для [math]x = 0[/math] условие ограничения будет соблюдено при любом [math]m[/math]. Для [math]x \ne 0[/math] рассмотрим [math]z = \frac{\delta}{2} \frac {x}{\left \| x \right \|}.\quad[/math]        [math] \left \| z \right \| = \frac{\delta}{2} \lt \delta \Rightarrow \left \| \mathcal{A}(z) \right \| \le 1 [/math] Но [math]\mathcal{A} \left ( z \right ) = \frac {\delta}{2 \left \| x \right \|} \mathcal{A}(x) [/math]. Значит, [math] \| \mathcal{A}(z) \| = \frac {\delta}{2 \| x \|} \| \mathcal{A}(x) \| \le 1[/math], таким образом, [math] \| \mathcal{A}(x) \| \le \frac2{\delta} \| x \|[/math] Выберем [math] m = \frac2{\delta} [/math], и получим, что оператор ограничен.

[math]\triangleleft[/math]

Теорема:

Пусть [math]Y[/math] - линейное пространство, [math]Cl Y = X[/math], [math]A: Y \rightarrow Z[/math] - линейный ограниченный оператор, [math]Z[/math] — банахово. Тогда [math]\exists ! B: X \rightarrow Z[/math]: [math]B|_Y = A[/math] [math]\|B\| = \|A\|[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Так как [math]Cl Y = X[/math], то для любого [math]x[/math] из [math]X[/math] можно подобрать последовательность [math]y_n \in Y: y_n \rightarrow x[/math]. [math]z_n = Ay_n \in Z[/math], [math]\|z_n - z_m\| = \|A(y_n - y_m)\| \le \|A\|\|y_n - y_m\| \xrightarrow[n,m\to \infty]{} 0[/math]. [math]\{ z_n \}[/math] сходится в себе, следовательно, в силу банаховости [math]Z[/math], [math]\{ z_n \}[/math] сходится, [math]\exists z = \lim\limits_{n \to \infty} z_n[/math] [math]z \underset{def}{=} Bx = \lim\limits_{y_n \to x} Ay_n[/math] Оператор [math]B[/math] линеен по арифметике предела. Проверим однозначность определения: Пусть [math]y_n' \to x[/math], тогда [math]\|Ay_n' - Ay\| \le \|A\|\|y_n - y_n'\| \to 0[/math], то есть, [math]\lim Ay_n' = \lim Ay_n[/math], и оператор определен корректно. "Ясно, что норма оператора сохраняется, здесь все тривиально" TODO: написать о тривиальном. Наверняка также как в Линейные функционалы#densefunextension, но лучше бы все равно написать, а то мало ли

[math]\triangleleft[/math]

Обычно пространство линейных операторов из [math]X[/math] в [math]Y[/math] обозначают как [math]L(X, Y)[/math].

Теорема:

Пусть [math]Y[/math] — банахово, тогда [math]L(X, Y)[/math] тоже банахово.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим сходящуюся в себе последовательность операторов [math]A_n[/math] в [math]L(X, Y)[/math]. Для произвольного [math]x \in X[/math] рассмотрим [math]\{A_n x\}[/math]: [math]\|A_nx -A_mx\| = \|(A_n - A_m)x\| \le \|A_n - A_m\| \|x\| \to 0[/math] Так как [math]\{A_nx\}[/math] сходится в себе, то существует [math]y = \lim\limits_{n \to \infty} A_n x, y \underset{def}{=} Ax[/math]. Проверим, что [math]A[/math] — линейный ограниченный оператор, [math]A = \lim\limits_{n \to \infty} A_n[/math]. Рассмотрим [math]\|x\| \le 1[/math]. Так как [math]\{A_n\}[/math] сходится в себе, то [math]\forall \varepsilon \exists N: \forall n, m \ge N \| A_n - A_m \| \lt \varepsilon[/math]. По определению [math]A[/math], [math]\forall \varepsilon \exists N_1: \forall n \ge N_1 \| A_n x - A x \| \lt \varepsilon[/math]. Значит, можно выбрать [math]n_1 \ge N, N_1[/math], такое, что [math]\forall m \ge N: \|Ax - A_m x\| \le \|Ax - A_{n_1} x\| + \|(A_{n_1} - A_m) x\| \le 2 \varepsilon[/math]. Таким образом, [math]\|A - A_m\| = \sup\limits_{\|x\| \le 1} \|Ax - A_m x\| \le 2 \varepsilon \to 0[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Примеры:

• [math]A: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m[/math] — очевидно, линеен, а ограничен, так как в качестве константы, его ограничивающей можно взять сумму модулей элементов матрицы оператора.
• [math]X = C[0, 1][/math], [math]K[/math] - непрерывная на [math][0, 1] \times [0, 1][/math] функция, [math]x \in X[/math]. [math]A(x, t) = \int\limits_0^1 K(t, s) x(s) ds[/math] — интегральный оператор Фредгольма. Очевидно, он линеен, а так как [math]|K(t, S)| \le M[/math], то [math]|A(x, t)| \le M \|x\|[/math], то ограничен.

Сама по себе задача вычисления [math]\|A\|[/math] может быть нетривиальной даже в конечномерном случае.

Ссылочки:

• Bounded operator