1679
правок
Изменения
Нет описания правки
Введем норму как <tex>\|[x]\|_{X /_Z} = \inf\limits_{z \in Z} \| x - z \|_X</tex> (заметим, что ее значение не зависит от того, какой <tex>x \in [x]</tex> выбрать. Покажем, что это действительно норма:
* положительная определенность очевидна, покажем равенство нулю ???только в нулевом классе эквивалентности: пусть <tex>x \ne 0, \|[x]\| = 0, x \notin [0]</tex>, тогда <tex>f(x)\ne 0</tex> и по определению инфимума, существует последовательность <tex>z_n \in Z: \|z_n - x\| \to 0</tex>, но тогда <tex>x</tex> — предел последовательности <tex>z_n</tex> и по замкнутости ядра также лежит в ядре, получили противоречие.
* вторая аксиома очевидна
* третья аксиома: <tex>\|[x] + [y]\| = \inf\limits_{z \in Z} \|x + y - z\|_X = \inf\limits_{z \in Z} \|x - \frac{z}{2} + y - \frac{z}{2}\| \le \inf\limits_{z \in Z}\|x - \frac{z}{2}\| + \inf\limits_{z \in Z} \|y - \frac{z}{2}\|</tex>. Заметим что так как <tex>Z</tex> — линейное подпространство, <tex>\frac{z}{2}</tex> пробегает те же элементы, что и <tex>z</tex>, то есть <tex>\inf\limits_{z \in Z}\|x - \frac{z}{2}\| + \inf\limits_{z \in Z} \|y - \frac{z}{2}\| = \inf\limits_{z \in Z}\|x - z\| + \inf\limits_{z \in Z} \|y - z\| = \|[x]\| + \|[y]\|</tex>.
