Рекурсивные функции

Все рассматриваемые здесь функции действуют из подмножества [math] \mathbb {N}^t [/math] в [math] \mathbb {N} [/math], где [math] t [/math] - любое натуральное число.Также будем считать что [math] 0[/math] натуральное число.

Основные определения

Рассмотрим следующие правила преобразования функций:

• Рассмотрим [math] k [/math]-местную функцию [math] f(x_1,\ldots,x_k) [/math] и [math] k [/math] [math]n [/math]-местных функций [math] g_i(x_1,x_2,\ldots,x_n) [/math]. Тогда после преобразования у нас появится [math] n [/math] - местная функция [math] F = f(g_1(x_1,\ldots,x_n),\ldots, g_k(x_1,\ldots,x_n)) [/math].

Это правило называется правилом подстановки

• Рассмотрим [math] k [/math]-местную функцию [math] f [/math] и [math] k + 2 [/math]-местную функцию [math] h [/math]. Тогда после преобразования у нас будет [math] k+1 [/math] -местная функция [math] g [/math], которая определена следующим образом:

[math]g(x_1,\ldots,x_n,0)=f(x_1,\ldots,x_n)[/math]

[math]g(x_1,\ldots,x_n,y+1)=h(x_1,\ldots,x_n,y,g(x_1,\ldots, x_n,y))[/math]

Это правило называется правилом рекурсии,при этом будем говорить что рекурсия запускается по аргументу [math] y [/math].

Определение:

Примитивно рекурсивными называют функции, которые можно получить с помощью правил подстановки и рекурсии из константной функции [math] \textbf 0 [/math], функции [math] I(x) = x + 1, [/math] и набора функций [math] P_{n,k}(x_1,\ldots,x_n) = x_k,[/math] где [math] k \le n [/math].

Заметим, что если [math] f [/math] — [math] n [/math]-местная примитивно рекурсивная функция, то она определена на всем множестве [math] \mathbb {N}^{n} [/math], так как [math] f [/math] получается путем правил преобразования из всюду определенных функций, и правила преобразование не портят всюду определенность. Говоря неформальным языком, рекурсивные функции напоминают программы, у которых при любых входных данных все циклы и рекурсий завершатся за конечное время.

Благодаря проекторам мы можем делать следующие преобразования:

• В правиле подстановки можно использовать функции с разным числом аргументов. Например, подстановка [math] F(x,y) = f(g(y),h(x,x,y)) [/math] эквивалентна [math] F(x,y,z) = f(g(P_{2,2}(x,y)),h(P_{2,1}(x,y),P_{2,1}(x,y),P_{2,2}(x,y))) [/math], но если [math] F [/math] не константная функция то все подставляемые функции должны иметь хотя бы один аргумент.
• В рекурсии не обязательно вести индукцию по последнему аргументу. Следует из того что мы можем с помощью проекторов поставить требуемый аргумент на последнее место.

В дальнейшем вместо [math] P_{n,k}(x_1,\ldots,x_k) [/math] будем писать просто [math] x_k [/math], подразумевая требуемое нам [math] n [/math].

Арифметические операции на примитивно рекурсивных функциях

n -местный ноль

[math] \textbf 0 [/math] - функция нуля аргументов.

Выразим сначала [math] \textbf 0^1 [/math]

[math] \textbf 0^{1}(0) = \textbf 0 [/math]

[math] \textbf 0^{1}(y+1) = h(y,\textbf 0^{1}(y)) [/math], где [math] h(x,y) = y [/math]

Теперь выразим [math] \textbf 0^n [/math]

[math] \textbf 0^{n}(x_1,\ldots,x_{n-1},0) = \textbf 0^{n-1} [/math]

[math] \textbf 0^{n}(x_1,\ldots,x_{n-1},y+1) = h(x_1,\ldots,x_{n-1},\textbf 0^{n}(y)) [/math], где [math] h(x_1,\ldots, x_n,y) = y [/math]

Константа [math] \textbf M [/math] равна [math] I(\textbf{M-1}) [/math]

[math] \textbf M^n [/math] - n местная константа, получается аналогичным к [math] \textbf 0^n [/math] образом.

Сложения

[math] sum(x,0) = x [/math]

[math] sum(x,y+1) = h(x,y,sum(x,y)) [/math] , где [math] h(x,y,z)=I(z) [/math]

Умножения

[math] prod(x,0) = \textbf 0^1(x) [/math]

[math] prod(x,y+1) = h(x,y,prod(x,y)) [/math], где [math] h(x,y,z)=sum(x,z) [/math]

Вычитания

Если [math] x \lt y [/math], то [math] sub(x,y) = 0 [/math] , иначе [math] sub(x,y) = x - y [/math].

Рассмотрим сначала вычитания единицы [math] sub_{1}(x) = x - 1 [/math]

[math] sub_1(0) = \textbf 0 [/math]

[math] sub_1(x+1) = h(x,sub_1(x)) [/math], где [math] h(x,y) = y [/math]

Теперь рассмотрим [math] sub(x,y) [/math]

[math] sub(x,0) = x [/math]

[math] sub(x,y+1) = h(x,y,sub(x,y)) [/math], где [math] h(x,y,z) =sub_1(z) [/math]

Операции сравнения

[math] eq(x,y) = 1 [/math] если [math] x = y [/math], иначе [math] eq(x,y) = 0 [/math]

[math] le(x,y) = 1 [/math] если [math] x \le y [/math], иначе [math] lq(x,y) = 0 [/math] [math] lower(x,y) = 1 [/math] если [math] x \lt y [/math], иначе [math] lower(x,y) = 0 [/math]

Сначала выразим [math] eq_{0}(x) = eq(x,0) [/math]

[math] eq_0(0) =I(\textbf 0) [/math]

[math] eq_0(y+1) = h(y,eq(y)) [/math] , где [math] h(y,eq(y)) = \textbf 0^2(x,y) [/math]

Теперь все остальные функции

[math] le(x,y) = eq_0(sub(x,y)) [/math]

[math] eq(x,y) = mul(le(x,y),le(y,x)) [/math]

[math] lower(x,y) = mul(le(x,y),le(I(x),y)) [/math]

IF

[math] if(0,x,y) = y [/math]

[math] if(c+1,x,y) = h(c,x,y,if(c,x,y)) [/math] , где [math] h(c,x,y,d) = x [/math]

Деление

[math] divide(x,y) = \lfloor {\frac{x}{y}} \rfloor [/math], если [math] y \gt 0 [/math]. Если же [math] y = 0 [/math], то [math] divide(x,0) [/math] и все связанные с делением функции равны каким то ,не интересными для нас, числами.

Сначала определим [math] divmax(x,y) [/math] — функция равна максимальному числу меньшему [math] x [/math] и которое нацело делится на [math] y [/math].

[math] divmax(0,y) =\textbf 0^{1} [/math]

[math] divmax(x+1,y) = h(x,y,divmax(x,y)) [/math], где [math] h(x,y,z) = if(eq(sub(I(x),z),y),I(x),z) [/math],

или не формально если [math] x+1 - y = z [/math] то [math] h(x,y,z) = x+1 [/math], иначе [math] h(x,y,z) = y [/math]

Теперь само деления

[math] divide(0,y) =\textbf 0^{1} [/math]

[math] divide(x,y) = h(x,y,divide(x,y)) [/math], где [math] h(x,y,z) = sum(z,eq(I(x),divmax(I(x),y))) [/math]

или не формально если [math] x+1~\vdots z [/math] то [math] h(x,y,z) = z+1 [/math], иначе [math] h(x,y,z) = z [/math]

Остаток от деления выражается так:

[math] mod(x,y) = sub(x,mul(y,divide(x,y))) [/math]

Работа со списками фиксированной длины

С помощью описанных выше арифметических операций можно выразить проверку на простоту числа и поиск [math] n [/math] - того простого числа. Рассмотрим список из натуральны чисел [math] [x_1,\ldots,x_n] [/math], тогда ему в соответствия можно поставить число [math] p_1^{x_1+1} \cdot p_2^{x_2+1} \cdot \ldots \cdot p_n^{x_n+1} [/math], где [math] p_i - i[/math]-тое простое число. Как видно из представления,создания списка, взятие [math] i [/math] - того элемента и остальные операции являются простыми арифметическими операциями, а следовательно примитивно рекурсивными. Поэтому будем считать что у примитивно рекурсивной функций аргументы и результат могут быть списками из натуральных чисел.

Теорема о примитивной рекурсивности вычислимых функций

Теорема:

Если для вычислимой функции [math] F [/math] существует примитивно рекурсивная функция [math] T [/math], такая что для любых аргументов [math] args [/math] максимальное количество шагов, за которое будет посчитана [math] F(x) [/math] на МТ равно [math] T(args) [/math], то [math] F [/math] примитивно рекурсивная функция.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Каждому состоянию MT поставим в соответствие список из четырех чисел [math] [L,R,S,C] [/math], где: [math] L [/math] - состояние MT слева от головки ленты, представлено в виде числа в системы счисления с основанием равным алфавиту MT. Младшие разряды находятся возле головки. Пробелу соответствует ноль, чтобы число было конечным. [math] R [/math] - состояние MT справа от головки, представлено аналогично [math] L [/math] только возле головки МТ находятся старшие разряды. [math] S [/math] - номер текущего состояния [math] C [/math] - символ на который указывает головка ленты. Тогда всем переходам соответствует функция [math] f([L,R,S,C]) [/math] принимающая состояние МТ и возвращающая новое состояние. Покажем что она примитивно рекурсивная . При применении перехода в [math] C [/math] записывается новый символ,затем из-за сдвига головки в [math] L [/math] и [math] R [/math] в конец добавляется новая цифра или удаляется старая, затем в [math] C [/math] записываетcя символ после сдвига, и в конце перехода в [math] S [/math] записывается новое состояние автомата. Операции добавления в конец цифры или удаления последней цифры легко выражаются через простые арифметические операции, следовательно они примитивно рекурсивные. Все остальные операции являются простыми операциями над списками, а значит они тоже примитивно рекурсивные. Из этого следует что применения перехода — примитивно рекурсивная функция. В силу того что нужный переход можно выбрать используя конечное число функций [math] if [/math] следует что и [math] f [/math] также является примитивно рекурсивной функцией. Функции преобразование аргументов в формат входных данных для МТ и получения ответа по состоянию МТ также выражаются через простые арифметические операции а значит они примитивно рекурсивные. Назовем их [math] IN [/math] и [math] OUT [/math]. Рассмотрим функцию двух аргументов [math] N([L,R,S,C],t) [/math] которая принимает состояние MT , число шагов [math] t [/math] и возвращает состояние MT после [math] t [/math] шагов. Покажем что N - примитивно рекурсивная функция. [math] N([L,R,S,C],t) = [L,R,S,C] [/math] [math] N([L,R,S,C],t+1) = h([L,R,S,C],t+1,N([L,R,S,C],t)) [/math] , где [math] h([L,R,S,X],y,[L1,R1,S1,C1]) = f([L1,R1,S1,C1]) [/math] Вместо [math] t [/math] подставим [math] T(args) [/math] и в итоге получим что [math] F(args) = OUT(N(IN(args),T(args))) [/math] - примитивно рекурсивная функция.

[math]\triangleleft[/math]