Сравнения, система вычетов, решение линейных систем по модулю — различия между версиями
Bochkarev (обсуждение | вклад) (→Теорема Ферма) |
Bochkarev (обсуждение | вклад) (→Китайская теорема об остатках) |
||
Строка 44: | Строка 44: | ||
== Китайская теорема об остатках == | == Китайская теорема об остатках == | ||
− | Пусть <tex> n = n_1 n_2 \ldots n_k </tex>, где <tex> n_i </tex> - попарно взаимно простые числа. Рассмотрим соответствие <tex> a \rightarrow (a_1 , a_2 , \ldots , a_k) </tex>, где <tex> a_i = a(mod \text{ }n)</tex>. Такое соответствие является однозначным, для любого '''а''' (<tex> 0 \le a \le n </tex>). | + | {{Теорема |
+ | |id=thChinese | ||
+ | |author=Сун-Цзы | ||
+ | |about=О попарно взаимно простых числах | ||
+ | |statement= | ||
+ | Пусть <tex> n = n_1 n_2 \ldots n_k </tex>, где <tex> n_i </tex> - попарно взаимно простые числа. Рассмотрим соответствие <tex> a \rightarrow (a_1 , a_2 , \ldots , a_k) </tex>, где <tex> a_i = a(mod \text{ }n)</tex>. Такое соответствие является однозначным, для любого '''а''' (<tex> 0 \le a \le n </tex>). | ||
+ | |proof= | ||
Неконструктивное доказательство : <br> | Неконструктивное доказательство : <br> | ||
<tex> x-y \rightarrow (0 , 0 , \ldots , 0) \Leftrightarrow (x-y) \vdots m_i </tex>, значит <tex> x \equiv y(mod \text{ } \prod n_i )</tex>. То есть разных наборов всего n. | <tex> x-y \rightarrow (0 , 0 , \ldots , 0) \Leftrightarrow (x-y) \vdots m_i </tex>, значит <tex> x \equiv y(mod \text{ } \prod n_i )</tex>. То есть разных наборов всего n. | ||
+ | }} | ||
== Теорема Ферма == | == Теорема Ферма == |
Версия 01:57, 7 октября 2010
Содержание
Сравнения по модулю
Будем рассматривать целые числа в связи с остатками от деления их на данное целое число m, которое назовем модулем.
Каждому целому числу отвечает определенный остаток от деления его на m. Если двум целым a и b отвечает один и тот же остаток r, то они называются сравнимыми по модулю m.
Сравнимость для a и b записывается так :
Сравнимость чисел a и b по модулю m равносильна:
- 1. Возможности представить a в форме , где t - целое.
- 2. Делимости на m.
Арифметика сравнений
Свойства сравнений
- 1. Два числа, сравнимые с третьим сравнимы между собой.
- 2. Сравнения можно почленно складывать.
- 3. Сравнения можно почленно перемножать.
- 4. Обе части сравнения можно разделить на их общий делитель, если последний взаимно прост с модулем.
- 5. Обе части сравнения можно умножить на одно и тоже число.
- 6. Обе части сравнения и модуль можно разделить на их общий делитель.
- 7. Если сравнение НОК этих модулей. имеет место по нескольким модулям, то оно имеет место и по модулю равному
- 8. Если сравнение имеет место по модулю m, то оно имеет место и по модулю d, равному любому делителю числа m.
- 9. Если одна часть сравнения и модуль делятся на некоторое число, то и другая сторона сравнения должна делится на это число.
- 10. Если , то .
Полная и приведенная система вычетов
Числа равноостаточные(сравнимые по модулю m) образуют класс чисел по модулю m.
Из такого определения следует, что всем числам класса отвечает один остаток r, и мы получим все числа класса,
если в форме
Любое число класса называется вычетом по модулю m. Вычет получаемый при , равный самому остатку r,
называется наименьшим неотрицательным вычетом.
Любые m чисел, попарно несравнимые по модулю m, образуют полную систему вычетов по этому модулю.
Согласно 10-му свойству сравнений, числа одного класса по модулю m имеют одинаковый НОД. Особенно важны классы, содержащие числа, взаимно простые с модулем. Взяв вычет от каждого такого класса, получим приведенную систему вычетов по модулю m.
Решение линейных систем по модулю
Пусть
Поиск решений:
,
Составим новое сравнение ,
обозначим его ,
его решением будет , где - числитель подходящей дроби.
Пусть
После этого решения исходного сравнения запишутся так :
Китайская теорема об остатках
Теорема (Сун-Цзы, О попарно взаимно простых числах): |
Пусть , где - попарно взаимно простые числа. Рассмотрим соответствие , где . Такое соответствие является однозначным, для любого а ( ). |
Доказательство: |
Неконструктивное доказательство : |
Теорема Ферма
Теорема (Ферма, a в степени p по модулю p.): |
, где p — простое. |
Доказательство: |
Система сократив лишнее, получаем задает те же вычеты, только в другом порядке, таким образом , . Домножив обе части на a, получим теорему в изначально представленном виде. |
Теорема Вильсона
Теорема (Вильсон, О простых числах): |
p — простое . |
Доказательство: |
|