Алгебра и геометрия 1 курс

Линейные операторы

• Линейные операторы и их матричная запись. Примеры
• Пространство линейных операторов
• Алгебра. Примеры. Изоморфизм алгебр. Алгебра операторов и матриц
• Обратная матрица
• Ядро и образ линейного оператора. Теорема о ядре и образе. Функции матриц и операторов.
• Обратный оператор. Критерий существования обратного оператора.

Тензорная алгебра

• Замена базиса. Преобразование координат векторов Х и Х* при замене базиса. Преобразование матрицы линейного оператора А при замене базиса. Преобразование подобия.
• Тензоры (ковариантность, независимое от ПЛФ определение). Пространство тензоров. Свертка тензора. Транспонирование тензора.
• Определитель линейного оператора. Внешняя степень оператора.
• Независимость определителя оператора от базиса. Теорема умножения определителей.

Cпектральный анализ линейных операторов в конечномерном пространстве

• Инварианты линейного оператора. Инвариантные подпространства.
• Собственные векторы и собственные значения линейного оператора: основные определения, свойства, существование, вычисление.
• Cпектральный анализ линейного оператора с простым спектром: спектр, диагональный вид матрицы, спектральные проекторы, спектральная теорема.
• Cпектральный анализ скалярного оператора: спектр, диагональный вид матрицы, спектральные проекторы, спектральная теорема.
• Спектральная теорема и функциональное исчисление для скалярного оператора. Инварианты скалярного оператора. Тождество Кэли.

Cпектральный анализ линейных операторов в конечномерном пространстве: операторы общего вида

• Ультраинвариантные подпространства.
• Алгебра скалярных полиномов. Идеал. Минимальный полином.
• Алгебра операторных полиномов. Минимальный полином линейного оператора.
• Разложение линейного пространства в сумму подпространств. 2-я теорема о ядре и образе. Теорема о проекторах.
• Минимальный полином и инвариантные подпространства. Спектральная теорема для линейного оператора произвольного вида.
• Нильпотентные операторы (определение, простейшие свойства). Жорданова клетка. Структура нильпотентного оператора. Базис Жордана (обзор)
• Жорданова форма матрицы линейного оператора.
• Кратности собственных чисел (алгебраическая, геометрическая, полная). Теорема Гамильтона-Кэли.

Евклидово пространство

• Метрические, нормированные и евклидовы пространства.
• Вещественное евклидово и псевдоевклидово пространство. Основные неравенства.
• Комплексное евклидово пространство. Основные неравенства.
• Ортогональность. Ортогональный базис. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта. Ортогональная сумма подпространств. Ортогональный проектор.
• Задача о перпендикуляре.
• Ортогональные системы векторов: коэффициенты Фурье, неравенства Бесселя и Парсеваля.
• Метрический тензор. Естественный изоморфизм евклидова и сопряженного ему пространств.
• Ковариантные и контравариантные координаты вектора. Операции поднятия и опускания индексов.
• Эрмитовски сопряженный и эрмитов оператор в евклидовом пространстве: основные определения и свойства, теоремы о скалярном типе эрмитова и самосопряженного оператора, спектральная теорема, минимальное свойство, приведение эрмитовой матрицы к диагональному виду унитарным преобразованием.
• Унитарный и ортогональный операторы: основные определения и свойства, теорема о скалярном типе унитарного оператора, спектральная теорема.
• Квадратичные формы: основные определения, приведение к каноническому виду методом Лагранжа, приведение к каноническому виду унитарным преобразованием, закон инерции квадратичной формы, одновременное приведение пары квадратичных форм к сумме квадратов