Линейный оператор

Определение:

Пусть [math]X[/math] и [math]Y[/math] - линейные пространства над полем [math]F[/math]. Отображение [math]A:X \rightarrow Y[/math] называется линейным оператором, если [math]\forall x_1,x_2 \in X[/math], [math]\forall \lambda \in F[/math]: [math]A(x_1+x_2)=A(x_1)+A(x_2)[/math] [math]A(\lambda \cdot x_1) = \lambda \cdot A(x_1)[/math]

NB: Гомоморфизм

Определение:

Линейный оператор [math]A:X \rightarrow X[/math] называется автоморфизмом.

NB: [math]A(x) = Ax[/math]

Определение:

[math]A,B:X \rightarrow Y[/math], [math]A=B[/math], если [math]\forall x \in X:Ax = Bx[/math]

Определение:

[math]O[/math] называется нулевым оператором, если [math]\forall x \in X:Ox=Oy[/math]

Примеры

Тождественный оператор

[math]I:X \rightarrow X[/math] по формуле [math]Ix=x[/math]

Линейный оператор проектирования

[math]X=L1 \dotplus L2[/math]

[math]P_{L_1}^{||L_2}:X \rightarrow L_1[/math]

[math]P_{L_2}^{||L1}:X \rightarrow L_2[/math]

NB: [math]P_{L_{1,2}}^{||L_{2,1}}:X \rightarrow X[/math] ([math]L_1[/math] и [math]L_2[/math] - п.п. [math]X[/math])

Оператор дифференцирования

Пусть [math]X=P_n; D:P_n \rightarrow P_{n-1}[/math] по формуле [math](Dp)(t)={dp(t) \over dt} = p^{'}(t)[/math]

Интегральный оператор

Пусть [math]X = C(a,b); K(s,t); s \in (a,b); t \in (a,b)[/math]

[math](Bf)(s) = \int_a^b K(s,t) \cdot f(t) \cdot dt[/math]

[math]B : C(a,b) \rightarrow C(a,b)[/math]

Матрица линейного оператора

Пусть [math]A:X \rightarrow Y[/math]

Пусть п.п. [math]X \leftrightarrow \{e_k\}_{k=1}^n, dim X=n[/math]

Пусть п.п. [math]Y \leftrightarrow \{h_i\}_{i=1}^m, dim Y = m[/math]

[math]m != n[/math]

[math]Ae_k=\displaystyle \sum_{i=1}^m \alpha_k^i \cdot h_i = A=||\alpha_k^i||(k=1,...,n)[/math]

[math] A= \begin{pmatrix} \alpha_1^1 & \cdots & \alpha_n^1 \\ \alpha_1^2 & \cdots & \alpha_n^2 \\ \cdots & \cdots & \cdots \\ \alpha_1^m & \cdots & \alpha_n^m \\ \end{pmatrix} [/math]

Примеры

Нулевой оператор

[math] O_{[m \times n]}= \begin{pmatrix} 0 & \cdots & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & \cdots & 0 \\ \end{pmatrix} [/math]

Оператор дифференцирования

[math]D:P_n \rightarrow P_{n-1}[/math]

[math]\{1,t,t^2,...,t^n\}[/math]

[math] D= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 &\cdots & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots &\cdots & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 &\cdots & n \\ \end{pmatrix} [/math]