Линейный оператор

Линейный оператор

Определение:

Пусть [math]X[/math] и [math]Y[/math] — линейные пространства над полем [math]F[/math]. Отображение [math]\mathcal{A} \colon X \to Y[/math] называется линейным оператором, если [math]\forall x_1,x_2 \in X[/math], [math]\forall \lambda \in F[/math]: [math]\mathcal{A}(x_1+x_2)=\mathcal{A}(x_1)+\mathcal{A}(x_2)[/math] [math]\mathcal{A}(\lambda \cdot x_1) = \lambda \cdot \mathcal{A}(x_1)[/math]

Определение:

Линейный оператор [math]\mathcal{A} \colon X \to X[/math] называется автоморфизмом (или гомоморфизмом).

N.B.:

[math]\mathcal{A}(x) = \mathcal{A}x[/math]

Определение:

Пусть [math]\mathcal{A},\mathcal{B}\colon X \to Y[/math] [math]\mathcal{A}=\mathcal{B}[/math], если [math]\forall x \in X:\mathcal{A}x = \mathcal{B}x[/math]

Определение:

[math]\mathcal{O}[/math] называется нулевым оператором, если [math]\forall x, y \in X : \mathcal{O}x=\mathcal{O}y[/math]

Примеры

Тождественный оператор

[math]I \colon X \to X[/math] по формуле [math]Ix=x[/math]

Линейный оператор проектирования

[math]X=L_1 + L_2[/math]

[math]\mathcal{P}_{L_1}^{||L_2} \colon X \to L_1[/math]

[math]\mathcal{P}_{L_2}^{||L1} \colon X \to L_2[/math]

NB: [math]\mathcal{P}_{L_{1,2}}^{||L_{2,1}}\colon X \to X[/math] ([math]L_1[/math] и [math]L_2[/math] — п.п. [math]X[/math])

Оператор дифференцирования

Пусть [math]X=P_n[/math]

[math]\mathcal{D} \colon P_n \to P_{n-1}[/math] по формуле [math](\mathcal{D}p)(t)={dp(t) \over dt} = p^{'}(t)[/math]

Интегральный оператор

Пусть [math]X = C(a,b); K(s,t)[/math] - непрерывная функция; [math] s \in (a,b); t \in (a,b)[/math]

[math](\mathcal{B}f)(s) = \int_a^b K(s,t) \cdot f(t) \cdot dt[/math]

[math]\mathcal{B} \colon C(a,b) \to C(a,b)[/math]

Матрица линейного оператора

Пусть [math]\mathcal{A} \colon X \to Y[/math]

Пусть п.п. [math]X \leftrightarrow \{e_k\}_{k=1}^n, \dim X=n[/math]

Пусть п.п. [math]Y \leftrightarrow \{h_i\}_{i=1}^m, \dim Y = m[/math]

[math]\underset{1\leq k\leq n}{\mathcal{A}e_k}=\displaystyle \sum_{i=1}^m \alpha_k^i \cdot h_i \Rightarrow A=||\alpha_k^i||[/math], где [math]1\leq i\leq m, 1 \leq k \leq n[/math]

[math] A= \begin{pmatrix} \alpha_1^1 & \cdots & \alpha_n^1 \\ \alpha_1^2 & \cdots & \alpha_n^2 \\ \cdots & \cdots & \cdots \\ \alpha_1^m & \cdots & \alpha_n^m \\ \end{pmatrix} [/math]

N.B.:

Обратите внимание, что [math]\mathcal{A}[/math] означает оператор, а [math]A[/math] — матрицу этого оператора.

Примеры

Нулевой оператор

[math] \mathcal{O}_{[m \times n]}= \begin{pmatrix} 0 & \cdots & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & \cdots & 0 \\ \end{pmatrix} [/math]

Оператор дифференцирования

[math]\mathcal{D} \colon P_n \to P_{n-1}[/math]

[math]\{1,t,t^2,...,t^n\}[/math] - базис [math]P_n[/math]

[math] D= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 &\cdots & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots &\cdots & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 &\cdots & n \\ \end{pmatrix} [/math]

Теорема об эквивалентности задания линейного оператора

Теорема:

Задание Л.О. [math]\mathcal{A}: X \rightarrow Y \Leftrightarrow [/math] заданию его матрицы в паре базисов [math]\{x_i\}_{i=1}^{n}[/math] и [math]\{h_k\}_{k=1}^{m}[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math] \Rightarrow \mathcal{A} = \sum\limits_{k=1}^{m} \alpha_{k}^{i}h_k [/math] (единственным образом) [math] \Rightarrow A=||\alpha_k^i||[/math], где [math]1\leq i\leq n, 1 \leq k \leq m[/math] [math] \Leftarrow x= \sum\limits_{i=1}^{n} \xi^i e_i [/math] (единственным образом) Рассмотрим [math]\mathcal{A}x= \mathcal{A}(\sum\limits_{i=1}^{n} \xi^ie_i)= \sum\limits_{i=1}^{n} \xi^i \mathcal{A}e_i= \sum\limits_{i=1}^{n} \xi^i \sum\limits_{k=1}^{m} \alpha_{i}^{k}h_k=\sum\limits_{k=1}^{m}(\sum\limits_{i=1}^{n} \alpha_{i}^{k} \xi^i)h_k [/math] (1) [math]\mathcal{A}x=y=\sum\limits_{k=1}^{m} \eta^kh_k [/math] (2) из (1) и (2) получим, что [math]\eta^k=\sum\limits_{i=1}^{n} \alpha_{i}^{k} \xi^i \Leftrightarrow A \cdot X= Y[/math] (умножение матриц), тогда [math]\mathcal{A}x=y[/math]

[math]\triangleleft[/math]