Материал из Викиконспекты
|
|
| Строка 1: |
Строка 1: |
| − | == Количество делителей ==
| |
| | | | |
| − | {{Определение
| |
| − | |definition=
| |
| − | Арифметическая функция <tex>~\tau (a) </tex> определяется как число положительных делителей натурального числа '''a''':
| |
| − | <center><tex>
| |
| − | ~\tau(a) = \sum_{d|a} 1
| |
| − | </tex></center>
| |
| − | }}
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | Если '''a''' и '''b''' [[Взаимно простые числа|взаимно просты]], то каждый делитель произведения '''ab''' может быть единственным образом представлен в виде произведения делителей '''a''' и '''b''', и обратно, каждое такое произведение является делителем '''ab'''. Отсюда следует, что функция <tex>~\tau</tex> мультипликативна:
| |
| − | <center><tex>
| |
| − | ~\tau(ab) = \tau(a) \tau(b)
| |
| − | </tex></center>
| |
| − |
| |
| − | Пусть <tex> a = {p_1}^{\alpha_1} {p_2}^{\alpha_2} \ldots {p_k}^{\alpha_k}</tex> — каноническое разложение числа '''a''',
| |
| − | то в силу мультипликативности
| |
| − |
| |
| − | <center><tex>
| |
| − | ~\tau(a) = \tau(p_1^{\alpha_1}) \tau(p_2^{\alpha_2}) \ldots \tau(p_k^{\alpha_k})
| |
| − | </tex></center>
| |
| − |
| |
| − | Но положительными делителями числа <tex>p_i^{\alpha_i}</tex> являются <tex>~\alpha_i+1</tex> чисел <tex>1, p_i, \ldots, p_i^{\alpha_i}</tex>.
| |
| − |
| |
| − | Значит,
| |
| − | <center><tex>
| |
| − | ~\tau(n) = (\alpha_1+1) (\alpha_2+1) \ldots (\alpha_k+1)
| |
| − | </tex></center>
| |
Версия 18:54, 8 октября 2010
