Алгоритмы на деревьях — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 27: Строка 27:
 
  }
 
  }
  
{{Лемма
+
 
|statement=Если существует кратчайший путь от <tex>s</tex> до <tex>t</tex>, то <tex> \rho(s, \, t) \: = \: \min\limits_{k = 0..n-1} d[k][t]</tex>
 
|proof=Пусть кратчайший путь состоит из <tex>k</tex> ребер, тогда корректность формулы следует из динамики, приведенной ниже.
 
}}
 
 
   
 
   
  
Строка 36: Строка 33:
 
'''Обоснование корректности:'''
 
'''Обоснование корректности:'''
 
Будем пользоваться свойством,что в любом дереве >= 2 висячих вершин(степерь у них = 1)
 
Будем пользоваться свойством,что в любом дереве >= 2 висячих вершин(степерь у них = 1)
'''Докажем вспомогательную лемму:'''
 
  
Искомое расстояние - есть расстояние между двумя листами.  
+
 
'''Доказательство:''' пусть нет, пусть искомое расстояние - есть расстояние между вершина a, b, где b - не является листом.Т.к. b не является листом, то значит её степень > 1 => из неё существует ребро в непосещенную вершину (дважды посетить вершину b мы не можем). Лемма доказана.
+
{{Лемма
 +
|statement=<tex>Искомое расстояние - есть расстояние между двумя листами.</tex>
 +
|proof=пусть нет, пусть искомое расстояние - есть расстояние между вершина a, b, где b - не является листом.Т.к. b не является листом, то значит её степень > 1 => из неё существует ребро в непосещенную вершину (дважды посетить вершину b мы не можем). Лемма доказана.
 +
}}
  
  

Версия 19:36, 11 декабря 2013

Диаметр дерева - максимальная длина кратчайшего пути между любыми двумя вершинами. Алгоритм в этой статье находил диаметр в дереве,при чём очень простым алгоритмом.

Алгоритм: Возьмём любую вершину V и найдём расстояния до всех других вершин.

d = max{[math] v [/math],[math] u [/math] [math] \subset graph, [/math] [math] v \ne u [/math]} dist([math] v, u [/math])

Возьмём вершину [math] u [/math] такую,что d[u] >= d[t] для любого t.Снова найдём расстояние до всех остальных вершин.Самое большое расстояние - диаметр дерева. Расстояние до остальных вершин удобно искать алгоритмом BFS.

Реализация:


void diameter(graph g)              
{
    v = u = w = 0;
    bfs(v); // заполняет массив d[n] расстояниями до всех вершин.
    for(i = 0; i < n; i++)
         if (d[i] > d[u])
              u = i;
    bfs(u);
    for(i = 0; i < n; i++)
          if (d[i] > d[w])
               w = i;
    return d[w];
}



Обоснование корректности: Будем пользоваться свойством,что в любом дереве >= 2 висячих вершин(степерь у них = 1)


Лемма:
[math]Искомое расстояние - есть расстояние между двумя листами.[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
пусть нет, пусть искомое расстояние - есть расстояние между вершина a, b, где b - не является листом.Т.к. b не является листом, то значит её степень > 1 => из неё существует ребро в непосещенную вершину (дважды посетить вершину b мы не можем). Лемма доказана.
[math]\triangleleft[/math]


Запустив BFS от произвольной вершины. Мы получим дерево BFS. Теорема. В дереве BFS не существует ребер между вершинами из разных поддеревьев некоторого из общего предка. Доказательство как про дерево DFS.

Мы свели задачу к нахождению вершины v, такой, что сумма глубин поддеревьев максимальна.

Докажем, что одно из искомых поддеревьев содержит самый глубокий лист. Пусть нет, тогда взяв расстояние от v до глубочайшего листа мы можем улучшить ответ.

Таким образом мы доказали, что нам нужно взять наиглубочайшую вершину t после первого bfs, очевидно что ей в пару надо сапоставить вершину p , что dist(t, p) - max . Очевидно, что проблема решается запуском bfs из t.

Оценка производительности: Все операции кроме bfs - О(1) BFS работает линейное время,запускаем мы его 2 раза.Получаем O(V+E)