Алгоритмы на деревьях

Определение

Диаметр дерева - максимальная длина кратчайшего пути между любыми двумя вершинами. Алгоритм в этой статье находит диаметр в дереве,причём очень простой реализацией и низким временем работы.

Алгоритм

Возьмём любую вершину [math] v [/math] и найдём расстояния до всех других вершин.

d = min{[math] v [/math],[math] u [/math] [math] \subset graph, [/math] [math] v \ne u [/math]} dist([math] v, u [/math])

Возьмём вершину [math] u [/math] такую,что d[u] >= d[t] для любого t.Снова найдём расстояние от [math]u[/math] до всех остальных вершин.Самое большое расстояние - диаметр дерева. Расстояние до остальных вершин удобно искать алгоритмом BFS.

Реализация

int diameterTree(graph g)              
{
    v = u = w = 0;
    bfs(g,v); // заполняет массив d[n] кратчайшими расстояниями до всех вершин.
    for(i = 0; i < n; i++)
         if (d[i] > d[u])
              u = i;
    bfs(g,u);
    for(i = 0; i < n; i++)
          if (d[i] > d[w])
               w = i;
    return d[w];
}

Обоснование корректности

Будем пользоваться свойством,что в любом дереве >= 2 листов(имеют степень один).

Теорема:

Искомое расстояние - есть расстояние между двумя листами.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть нет, пусть искомое расстояние - есть расстояние между вершинами [math]a,b[/math] где [math]b[/math] - не является листом. Т.к. b не является листом, то значит её степень [math]\gt [/math] 1 => из неё существует ребро в непосещенную вершину (дважды посетить вершину [math]b[/math] мы не можем). Лемма доказана.

[math]\triangleleft[/math]

Запустив BFS от произвольной вершины. Мы получим дерево BFS.

Теорема:

В дереве BFS не существует ребер между вершинами из разных поддеревьев некоторого из общего предка.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Такое же как у дерева dfs.

[math]\triangleleft[/math]

Мы свели задачу к нахождению вершины [math]w[/math], такой, что сумма глубин поддеревьев максимальна.

Докажем, что одно из искомых поддеревьев содержит самый глубокий лист. Пусть нет, тогда взяв расстояние от [math]w[/math] до глубочайшего листа мы можем улучшить ответ.

Таким образом мы доказали, что нам нужно взять вершину [math]u[/math] с наибольшей глубиной после первого bfs, очевидно что ей в пару надо сопоставить вершину [math]w[/math] , что dist(u, w) - [math]max[/math] . Очевидно, что проблема решается запуском bfs из [math]u[/math].

Оценка производительности

Все операции кроме bfs - О(1). BFS работает линейное время,запускаем мы его 2 раза.Получаем O(V+E).