Многочлен Татта

Основные определения

Определение:

Рассмотрим граф [math] G [/math], возможно c петлями и кратными рёбрами. Определим многочлен Татта [math] T_G (x, y) [/math] следующими рекурсивными соотношениями: Если граф [math] G [/math] пуст, то [math] T_G (x, y) = 1 [/math]; Если ребро [math] e [/math] является мостом, то [math] T_G (x, y) = xT_{G\backslash e} (x, y) [/math] ; Если ребро [math] e [/math] является петлей, то [math] T_G (x, y) = yT_{G/e} (x, y) [/math]; Если ребро [math] e [/math] не является ни мостом, ни петлей то [math] T_G (x, y) = T_{G\backslash e} (x, y) + T_{G/e} (x, y) [/math];

Из этого определения не очевидна корректность: почему полученная функция не зависит от порядка выкидывания рёбер? Однако, если определение корректно, [math] T_G [/math], очевидно, является многочленом от двух переменных с целыми неотрицательными коэффициентами. Корректность мы докажем, связав многочлен Татта с другим многочленом - ранговым многочленом Уитни (Whiney rank polynomial).

Корректность определения, связь с ранговым многочленом

Определение:

Пусть [math] G = (V,E) [/math] - некоторый граф. Для множества [math] A \subset E [/math] через [math] G(A) [/math] будем обозначать граф [math] (V, A) [/math]. Через [math] c(G) [/math] будем обозначать число компонент связности графа [math] G [/math]. Рангом множества [math] A [/math] будем называть число [math] \rho(A) = |V| - c(G(A)) [/math].

Утверждение:

Ранг множества [math] A [/math] равен количеству рёбер в любом остовном лесе графа [math] G(A) [/math]. (под остовным лесом здесь понимается объединение остовных деревьев всех компонент связности, т.е. такой ациклический граф [math] G(B) [/math], что [math] B \subset A [/math] и [math] c(G(B)) = c(G(A)) [/math])

[math]\triangleright[/math]

Действительно, в каждой компоненте связности остовного леса рёбер на одно меньше чем вершин, а общее число вершин равно [math] |V| [/math].

[math]\triangleleft[/math]

Теперь определим сам ранговый многочлен:

Определение:

Ранговый многочлен графа [math] G [/math] есть многочлен от двух переменных, определяемый формулой: [math] R_G(u, v) = \sum\limits_{A \subset E} u^{\rho (E) - \rho (A)}v^{|A| - \rho (A)} [/math]

Определение:

Показатели в формуле раногового многочлена тоже имеют некоторый смысл. Величина [math] \rho (E) - \rho (A) [/math] равна [math] c(G(A)) - c(G) [/math], т.е. приросту числа компонент связности за счёт перехода к множеству рёбер [math] A [/math]. Мы будем обозначать эту величину через [math] \rho ^{*}(A) [/math] и называть числом важных для [math] A [/math] рёбер. (Их важно добавить к [math] A [/math], чтобы получилось столько же компонент связности, сколько было изначально). Величину [math] |A| - \rho (A) [/math] будем называть числом лишних ребёр: именно столько рёбер можно выкинуть из множества [math] A [/math], не меняя число компонент связности. Обозначать эту величину будем через [math] \overline{\rho} (A)[/math].

Далее докажем следующую техническую лемму:

Лемма:

Пусть фиксировано некоторое ребро [math] e \in E [/math] и множество [math] A \subset E\backslash {e}[/math]. Обозначим через [math] \rho _1(A), \rho ^{*}_{1} (A), \overline {\rho _1}(A) [/math] ранги множества [math] A [/math] в графе [math] G/e [/math], а через [math] \rho _2(A), \rho ^{*}_{2}(A), \overline {\rho _2}(A) [/math] - ранги в графе [math] G\backslash e [/math]. Тогда для множества [math] A' = A\cup {e}[/math] выполняются следующие соотношения: Если [math] e [/math] не петля, то [math] \rho ^{*}(A') = \rho ^{*}_{1} (A) [/math] и [math] \overline{\rho} (A') = \overline {\rho _{1}} (A) [/math]; Если [math] e [/math] не мост, то [math] \rho ^{*}(A') = \rho ^{*}_{2} (A) [/math] и [math] \overline{\rho} (A') = \overline {\rho _{2}} (A) [/math]; Если [math] e [/math] мост, то [math] \rho ^{*}(A') = \rho ^{*} (A) - 1 [/math] и [math] \overline{\rho} (A') = \overline {\rho} (A) [/math]; Если [math] e [/math] петля, то [math] \rho ^{*}(A') = \rho ^{*} (A) [/math] и [math] \overline{\rho} (A') = 1 + \overline {\rho} (A) [/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Стягивание ребра [math] e [/math] в любом случае не меняет числа компонент связности, поэтому [math] \rho ^{*}(A') = \rho ^{*}_{1} (A) [/math]. Если [math] e [/math] не петля, то стягивание также не меняет числа лишних рёбер, откуда [math] \overline{\rho} (A') = \overline {\rho _{1}} (A) [/math]. Если [math] e [/math] не мост, то удаление ребра [math] e [/math] не меняет числа компонент связности, откуда [math] \rho (A) = \rho _2(A)[/math] и [math] \rho (E) = \rho _2 (E \backslash {e}) [/math]. Подставляя эти равенства в формулы для [math] \rho ^{*} [/math] и [math] \overline {\rho} [/math], получаем [math] \rho ^{*}(A') = \rho ^{*}_{2} (A) [/math] и [math] \overline{\rho} (A') = \overline {\rho _{2}} (A) [/math], что и требовалось. Если [math] e [/math] мост, то в графе [math] G(A') [/math] на одну компоненту связности меньше, чем в [math] G(A) [/math], откуда [math] \rho ^{*}(A') = \rho ^{*} (A) - 1 [/math]. При этом ребро [math] e [/math] не будет лишним [math] A' [/math], поэтому [math] \overline{\rho} (A') = \overline {\rho} (A) [/math]. Если [math] e [/math] петля, то её исключение не меняет числа компонент связности, поэтому [math] \rho ^{*}(A') = \rho ^{*} (A) [/math]. По той же причине [math] e [/math] является лишним, откуда [math] \overline{\rho} (A') = 1 + \overline {\rho} (A) [/math].

[math]\triangleleft[/math]

Теперь, собственно, докажем связь многочлена Татта с ранговым, откуда будет следовать корректность определения для многочлена Татта:

Теорема (Татта):

Для любого графа [math] G [/math] выполнено равенство [math] T_G(u + 1, v + 1) = R_G(u, v)[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Если граф [math] G [/math] пуст, то единственным подмножеством [math] E [/math] является пустое множество, для которого нет важных и лишних рёбер. Поэтому [math] \rho^*(\emptyset ) = \overline {\rho} (\emptyset) = 0 [/math] и [math] R_G(u, v) = 1 = T_G(u + 1, v + 1) [/math]. Пусть граф [math] G [/math] не пуст. Докажем, что для рангового многочлена выполняются соотношения Татта (из определения многочлена Татта). Выберем некоторое ребро [math] e \in E [/math] и разобьём все подмножества [math] E [/math] на пары вида [math] (A, A') [/math], где [math] e \not\in A [/math] и [math] A' = A \cup {e} [/math]. Тогда [math] R_G(u, v) = \sum\limits_{A \subset {E \backslash {e}}} ( u^{\rho^* (A)}v^{\overline {\rho}(A)} + u^{\rho^* (A')}v^{\overline {\rho} (A')} ) [/math] Далее, разберём несколько случаев: Пусть [math] e [/math] петля. Тогда [math] \rho ^{*}(A') = \rho ^{*} (A) [/math] и [math] \overline{\rho} (A') = 1 + \overline {\rho} (A) [/math]. Тогда [math] u^{\rho^* (A')}v^{\overline {\rho} (A')} = u^{\rho^* (A)}v^{1 + \overline {\rho} (A)} = vu^{\rho^* (A)}v^{\overline {\rho} (A)} [/math], откуда [math] u^{\rho^* (A)}v^{\overline {\rho}(A)} + u^{\rho^* (A')}v^{\overline {\rho} (A')} = (v + 1)u^{\rho^* (A)}v^{\overline {\rho} (A)} [/math]. Вынося [math] (v + 1) [/math] за скобки, получаем [math] R_G(u, v) = (v + 1)\sum\limits_{A \subset {E \backslash {e}}} u^{\rho^* (A)}v^{\overline {\rho}(A)} = (v + 1) R_{G \backslash e}(u, v)[/math]. Это соответствует первому соотношению Татта. Пусть [math] e [/math] мост. Тогда [math] \rho ^{*}(A) = \rho ^{*} (A') + 1 = \rho ^{*}_{1} (A') [/math] и [math] \overline{\rho} (A) = \overline {\rho} (A') = \overline {\rho _1} (A) [/math]. Отсюда [math] u^{\rho^* (A)}v^{\overline {\rho}(A)} + u^{\rho^* (A')}v^{\overline {\rho}(A')} = u^{\rho^{*}_{1} (A) + 1}v^{\overline {\rho _1}(A)} + u^{\rho ^{*}_{1} (A)}v^{\overline{\rho _{1}}(A)} = (u + 1)R_{G \backslash e}(u, v) [/math]. Это второе соотношение Татта. Наконец, пусть [math] e [/math] не мост и не петля. Тогда [math] u^{\rho^* (A)}v^{\overline {\rho}(A)} + u^{\rho^* (A')}v^{\overline {\rho}(A')} = u^{\rho ^{*}_{2} (A)}v^{\overline {\rho _2}(A)} + u^{\rho ^{*}_{1} (A)}v^{\overline {\rho _1}(A)} [/math], откуда [math] R_{G}(u, v) = \sum\limits_{A \subset {E \backslash {e}}} u^{\rho ^{*}_{2} (A)}v^{\overline {\rho _2}(A)} + \sum\limits_{A \subset {E \backslash {e}}} u^{\rho ^{*}_{1} (A)}v^{\overline {\rho _1}(A)} = R_{G \backslash e}(u, v) + R_{G / e}(u, v) [/math]. Это третье соотношение Татта. Таким образом, многочлен [math] R_{G}(u + 1, v + 1) [/math] удовлетворяет определению многочлена Татта, что и требовалось.

[math]\triangleleft[/math]

Многочлен Татта дерева

Пусть [math] G [/math] - дерево c [math] n [/math] вершинами. Тогда [math] T_G(x, y) = x^{n - 1} [/math]. Этот факт можно легко показать по индукции: в дереве любое ребро является мостом, после стягивания которого получается опять дерево с [math] n - 1 [/math] вершинами.

Многочлен Татта цикла

Пусть [math] G = Z_n [/math] - цикл из [math] n [/math] вершин. Тогда для произвольного ребра [math] e [/math], граф [math] G \backslash e [/math] - цепочка [math] L_n [/math] из [math] n [/math], а [math] G/e = Z_n [/math]. По свойству 4, [math] T_{Z_n}(x, y) = T_{L_n}(x, y) + T_{Z_{n - 1} }(x, y) = x^{n - 1} + T_{Z_{n - 1}}(x, y)[/math] - верно для всех [math] n \gt 1 [/math]. При этом граф [math] Z_1 [/math] - петля, так что [math] T_{Z_1} = y [/math] по свойствам 1 и 3. Следовательно,
[math] T_{Z_{n}}(x, y) = y + x + ... + x^{n - 1}[/math]

Многочлен Татта полного графа

Определение:

Пусть [math] G = K_{n + 1} = (V, E) [/math], [math] V = {0, 1, 2,...,n} [/math] и [math] E = 2^{V} [/math]. Определим лексикографический порядок [math] \prec [/math] на множестве рёбер [math] E [/math] следующим образом: [math] (i, j) \prec (i', j') [/math], если [math] i \lt i' [/math] или [math] i = i', j = j' [/math].

Определение:

Обозначим за [math] S_n [/math] множество остовных деревьев [math] T [/math] графа [math] G [/math]. Будем говорить, что ребро [math] p \in T[/math] внутренне активно(internally active) в [math] T [/math], если [math] p \prec q [/math] для всех [math] q \in E \backslash t [/math], таких что [math] T \backslash p \cup {q} \in S_n[/math]. Аналогичным образом, будем говорить, что ребро [math] p \in T[/math] внешне активно(externally active) в [math] T [/math], если [math] p \prec q [/math] для всех [math] q \in E \backslash T [/math], таких что [math] T \backslash q \cup {p} \in S_n[/math]. Величиной внутренней (внешней) активности будем называть число внутренне (внешне) активных элементов в [math] T [/math]; эти величины будем обозначать [math] i(T) [/math] и [math] e(T) [/math] соответственно.

Также приведём без доказательства теорему, которая связывает многочлен Татта и понятие остовного дерева:

Теорема (Татта):

Пусть на [math] G [/math] с множеством остовных деревьев [math] S [/math]. Тогда [math] T_G(x, y) = \sum\limits_{T \in S} x^{i(T)}y^{e(T)} [/math]

Обозначение: Для простоты обозначим многочлен Татта для полного графа [math] G_{K_{n + 1}}(x, y) [/math] за [math] F_n(x, y) [/math]. Тогда имеет место следующая теорема:

Теорема:

[math] F_{n}(x, y) = \sum \limits_{k = 1}^n {n - 1 \choose k - 1} (x + y + y^2 + ... + y^{k - 1}) F_{k - 1}(1, y)F_{n - k} (x, y) [/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Зафиксируем остовное дерево [math] T \in S_n [/math]. Рассмотрим ребро [math] (0, k) \in T [/math], которое разбивает [math] T [/math] на поддеревья [math] T' [/math] и [math] T'' [/math], и при этом вершина 0 лежит в [math] T'' [/math]. Пусть [math] a = |{j|j \in T \& j \lt k}|[/math]. Тогда докажем следующие два утверждения: [math] i(T) = i(T') + \delta _{a, 0} [/math], где [math] \delta _{a, 0} [/math] - символ Кронекера [math] e(T) = e(T') + e(T'') + a [/math] Понятно, что ребро [math] (j_1, j_2) \in T [/math] не может быть внутренне активным, так как [math] (0, j_1) \prec (j_1, j_2) [/math], [math] (0, j_2) \prec (j_1, j_2) [/math] и [math] T \backslash (j_1, j_2) \cup {(0, j_1)} \in S_n[/math], [math] T \backslash (j_1, j_2) \cup {(0, j_2)} \in S_n[/math]. Также ребро [math] (0, k) \in T [/math] внутренне активно в [math] T [/math] [math] \Leftrightarrow [/math] [math] a = 0 [/math], потому как если существует такая вершина [math] j \in T'' [/math], такая что [math] j \lt k [/math], то [math] (0, j) \prec (0, k) [/math] и [math] T \backslash (0, k) \cup {(0, j)} \in S_n[/math]. Таким образом равенство (1) доказано. Рассмотрим [math] (j_1, j_2) [/math], где [math] j_1 \in T' [/math], [math] j \gt 0 [/math] и [math] j_2 \in T'' [/math]. Тогда [math] (j_1, j_2) [/math] не может быть внешне активным, так как [math] (0, k) \prec (j_1, j_2) [/math] и [math] T \backslash (j_1, j_2) \cup {(0, k)} \in S_n [/math]. Аналогично, пусть [math] j \in T'' [/math], тогда ребро [math] (0, j) [/math] - внешне активно [math] \Leftrightarrow [/math] [math] j \lt k [/math]. Таким образом мы доказали и равенство (2). Теперь необходимое тождество для полинома Татта полного графа может быть получено при подстановке равенств (1) и (2) в [math] F_n(x, y) = \sum\limits_{T \in S} x^{i(T)}y^{e(T)} [/math] и суммировании по всем парам поддеревьев [math] T', T'' [/math] и всем рёбрам типа [math] (0, k) [/math].

[math]\triangleleft[/math]

Универсальное свойство многочлена Татта

Теорема:

Пусть числовая функция на графах [math] f(G) [/math] обладает следующими свойствами для некоторых констант [math] a, b, x_0, y_0 [/math]: Если в [math] G [/math] нет рёбер, то [math] f(G) = 1 [/math] Если ребро [math] e [/math] является мостом, то [math] f(G) = x_0f(G/e)[/math] Если ребро [math] e [/math] является петлёй, то [math] f(G) = y_0f(G \backslash e)[/math] Если ребро [math] e [/math] не является ни мостом, ни петлёй, то [math] f(G) = af(G/e) + bf(G \backslash e) [/math]. Тогда [math] f(G) = a^{\rho (E)}b^{|E| - \rho (E)}T_G(\frac {x_0}{a}, \frac {y_0}{b}) [/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Для доказательства проведём индукцию по количеству рёбер. Поскольку для пустого графа [math] |E| = \rho(E) = 0 [/math], а [math] T_G = 1 [/math], то база индукции верна. Докажем переход. Пусть [math] e [/math] является мостом. Тогда [math] \rho _1 (E \backslash {e}) = \rho (E) - 1 [/math], так как стягивание [math] e [/math] не меняет число компонент связности и уменьшает число вершин на одну. Тогда [math] f(G) = x_0f(G/e) = x_0 a^{\rho _1 (E \backslash {e})} b^{|E| - 1 - \rho _1 (E \backslash {e})} T_{G/e}(\frac {x_0}{a}, \frac {y_0}{b}) = [/math] [math] x_0 a^{\rho (E) - 1} b^{|E| - \rho (E)} T_{G/e}(\frac {x_0}{a}, \frac {y_0}{b}) = \frac {x_0}{a} a^{\rho (E)} b^{|E| - \rho (E)} T_{G/e}(\frac {x_0}{a}, \frac {y_0}{b}) = a^{\rho (E)}b^{|E| - \rho (E)}T_G(\frac {x_0}{a}, \frac {y_0}{b}) [/math]. Пусть [math] e [/math] является петлёй. Тогда [math] \rho _2 (E \backslash {e}) = \rho (E) [/math], так как удаление [math] e [/math] не меняет ни числа вершин, ни числа компонент связности. Тогда [math] f(G) = y_0f(G \backslash e) = y_0 a^{\rho _2 (E \backslash {e})} b^{|E| - 1 - \rho _2 (E \backslash {e})} T_ {G \backslash e} (\frac {x_0}{a}, \frac {y_0}{b}) = y_0 a^{\rho _2 (E \backslash {e})} b^{|E| - 1 - \rho _2 (E \backslash {e})} T_ {G \backslash e} (\frac {x_0}{a}, \frac {y_0}{b}) = \frac {y_0}{b} a^{\rho (E)} b^{|E| - \rho (E)} T_ {G \backslash e} (\frac {x_0}{a}, \frac {y_0}{b}) = a^{\rho (E)}b^{|E| - \rho (E)}T_G(\frac {x_0}{a}, \frac {y_0}{b}) [/math]. Пусть [math] e [/math] не является ни мостом, ни петлёй. Тогда [math] \rho _1 (E \backslash {e}) = \rho (E) - 1 [/math] и [math] \rho _2 (E \backslash {e}) = \rho (E) [/math]. Тогда [math] f(G) = a f(G/e) + b f(G \backslash e) = a*a^{\rho _1 (E \backslash {e})} b^{|E| - 1 - \rho _1 (E \backslash {e})} T_ {G / e} (\frac {x_0}{a}, \frac {y_0}{b}) + b*a^{\rho _2 (E \backslash {e})} b^{|E| - 1 - \rho _2 (E \backslash {e})} T_ {G \backslash e} (\frac {x_0}{a}, \frac {y_0}{b}) = a^{\rho (E)}b^{|E| - \rho (E)} (T_ {G / e} (\frac {x_0}{a}, \frac {y_0}{b}) + T_ {G \backslash e} (\frac {x_0}{a}, \frac {y_0}{b})) = a^{\rho (E)}b^{|E| - \rho (E)}T_G(\frac {x_0}{a}, \frac {y_0}{b}) [/math]. Таким образом, все случаи разобраны, и теорема доказана.

[math]\triangleleft[/math]

Связь с хроматическим многочленом

Теорема:

Для графа [math] G [/math] и [math] k \in N [/math] выполняется соотношение [math] \chi _G (k) = (-1)^{|V| - c(G)}k^{c(G)}T_G(1 - k, 0) [/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Воспользуемся универсальным свойством многочлена Татта для функции [math] P_G(k) = \frac {\chi _G (k)}{k^{|V|}} [/math]. Проверим условие теоремы. Пусть ребро [math] e [/math] является мостом. Тогда множество вершин [math] V [/math] разбивается на два непересекающихся подмножества: [math] V_1 [/math] и [math] V_2 [/math]. Обозначим через [math] G_1 [/math] и [math] G_2 [/math] соответствующие подграфы. Их раскраски не связаны друг другом, поэтому [math] \chi_{G \backslash e} (k) = \chi_{G_1} (k) * \chi_{G_2} (k) [/math]. Далее, правильная раскраска [math] G/e [/math] получается из правильных раскрасок [math] G_1 [/math] и [math] G_2 [/math], где цвета склеиваемых вершин совпадают. Можно взять любую правильную раскраску [math] G_1 [/math], для чего есть [math] \chi_{G_1} (k) [/math], а из правильных раскрасок [math] G_2 [/math] годится только доля [math] \frac {1}{k} [/math], где цвет склеиваемой вершины нужный. Таким образом, [math] \chi _{G/e}(k) = \frac {1}{k} \chi _{G_1}(k) \chi _{G_2}(k) [/math]. Далее, по рекуррентному свойству хроматического многочлена [math] \chi _{G}(k) = \chi _{G \backslash e}(k) - \chi _{G / e}(k) = (1 - \frac {1}{k})\chi _{G_1}(k)*\chi _{G_2}(k) = (k - 1)\chi _{G / e}(k) [/math]. Значит, [math] P_G (k) = \frac {\chi _{G}(k)}{k^{|V|}} = \frac {(k - 1)\chi _{G / e}(k)}{k^{|V|}} = \frac {k - 1}{k} P_{G / e} (k) [/math], то есть первое условие выполнено для [math] x_0 = \frac {k - 1}{k} [/math]. Пусть ребро [math] e [/math] является петлёй. Тогда правильных раскрасок нет, то есть [math] P_G (k) = 0 [/math]. Значит второе условие выполнено для [math] y_0 = 0 [/math]. Пусть ребро [math] e [/math] не является ни мостом, ни петлёй. Опять же, в силу рекуррентного свойства хроматического многочлена [math] \chi _{G}(k) = \chi _{G \backslash e}(k) + \chi _{G / e}(k) [/math]. Поделив на [math] k^{|V|} [/math], получим [math] P_G(k) = -\frac {1}{k} P_{G / e} (k) + P_{G \backslash e} (k) [/math]. Значит, третье соотношение выполнено для [math] a = \frac {1}{k}, b = 1 [/math]. Согласно универсальному свойству многочлена Татта получаем [math] P_G (k) = (-\frac {1}{k})^{\rho (E)} T_G(1 - k, 0) [/math]. Значит, [math] \chi _G (k) = (-1)^{\rho (E)}k^{|V| - \rho (E)}T_G(1 - k, 0) [/math]. Поскольку [math] \rho (E) = |V| - c(G) [/math], получаем [math] \chi _G (k) = (-1)^{|V| - c(G)}k^{c(G)}T_G(1 - k, 0) [/math].

[math]\triangleleft[/math]