Участник:Dgerasimov/Численные методы — различия между версиями
(→Вопросы от Сегаля) |
(→Вопросы от Сегаля) |
||
| Строка 25: | Строка 25: | ||
== Вопросы от Сегаля == | == Вопросы от Сегаля == | ||
| − | + | === 1. Классификация линейных уравнений в частных производных. Свойства консервативности и транспортивности. Типовые граничные условия для уравнений параболического и эллиптического типов. === | |
| − | # 2. Основные понятия теории разностных схем: дискретизация, разностный шаблон, явная и неявная схемы. Типовой алгоритм решения начально-краевой задачи для модельного уравнения теплопроводности. | + | <wikitex>Начально-краевые задачи: |
| − | + | ||
| + | # Волновое уравнение: $\frac{\partial^2 T}{\partial t^2} - u^2 \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} = 0$ | ||
| + | # Уравнение теплопроводности (диффузии): $\frac{\partial T}{\partial t} - \kappa \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} = 0$ (описывает релаксационное приближение системы к термодинамическому равновесию) | ||
| + | # Уравение Лапласа: $\frac{\partial^2 T}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 T}{\partial y^2} = 0$ (описывает установившееся стационарное распределение) | ||
| + | |||
| + | Виды уравнений: гиперболическое (1), параболическое (2), эллиптическое (3). | ||
| + | |||
| + | Модельное уравнение теплопроводности: TODO | ||
| + | |||
| + | Транспортивность: | ||
| + | |||
| + | TODO Закон сохранения энергии в интегральной форме | ||
| + | |||
| + | Консервативность — если метод воспроизводит закон сохранения энергии. | ||
| + | |||
| + | </wikitex> | ||
| + | === 2. Основные понятия теории разностных схем: дискретизация, разностный шаблон, явная и неявная схемы. Типовой алгоритм решения начально-краевой задачи для модельного уравнения теплопроводности. === | ||
| + | === 3. Понятия сходимости, аппроксимации и устойчивости разностных схем. Теорема Лакса. === | ||
#* [http://en.wikipedia.org/wiki/Lax_equivalence_theorem Lax equivalence theorem] | #* [http://en.wikipedia.org/wiki/Lax_equivalence_theorem Lax equivalence theorem] | ||
| − | + | === 4. Построение разностных схем методом разложения в ряд Тейлора. Параметрические разностные схемы. === | |
| − | + | === 5. Построение разностных схем интегро-интерполяционным методом (методом конечных объемов). === | |
| − | + | === 6. Прямой анализ устойчивости разностных схем для уравнения конвективного переноса. Число Куранта (сеточное число Струхала), критерий Куранта-Фридрихса-Леви (КФЛ). === | |
| − | + | === 7. Прямой анализ устойчивости разностных схем для параболического уравнения теплопроводности в неподвижной среде. Сеточное число Рейнольдса. === | |
| − | + | === 8. Анализ устойчивости разностных схем методом дифференциального приближения (на примере явной схемы «против потока» для уравнения конвективного переноса). Понятие схемной релаксации. === | |
| − | + | === 9. Анализ устойчивости разностных схем методом Фон Неймана. === | |
| − | + | === 10. Разностные методы решения нелинейных уравнений в частных производных. Частично-неявная аппроксимация, внутренние итерации по нелинейности, линеаризация по Ньютону. === | |
| − | + | === 11. Разностные методы решения систем линейных уравнений в частных производных. Диагонально-неявная аппроксимация, векторная (матричная) прогонка. === | |
| − | + | === 12. Разностные методы решения многомерных эволюционных уравнений в частных производных. Методы расщепления, схема переменных направлений. === | |
| − | + | === 13. Обобщенный закон Ньютона для тензора напряжений. Кинематическая и динамическая вязкости. === | |
| − | + | === 14. Уравнения Навье-Стокса и их особенности (нелинейность, неэволюционность, неустойчивость). Постановка начально-краевых задач для уравнений Навье-Стокса. === | |
| − | + | === 15. Точные решения уравнений Навье-Стокса. Решение Пуазейля. === | |
| − | + | === 16. Численное решение уравнений Навье-Стокса SMAC-методом. === | |
| − | + | === 17. Проблемы, возникающие при численном решении уравнений Навье-Стокса SMAC-метом. Разрешимость краевой задачи для уравнения Пуассона для давления и методы ее решения. Проблема пилообразных осцилляций давления и разнесенная MAC-сетка. === | |
== Учебники от Сегаля == | == Учебники от Сегаля == | ||
Версия 00:05, 11 января 2014
Содержание
- 1 Какие-то ключевые темы
- 2 Курсовой проект
- 3 sfdfsdf
- 4 Вопросы от Сегаля
- 4.1 1. Классификация линейных уравнений в частных производных. Свойства консервативности и транспортивности. Типовые граничные условия для уравнений параболического и эллиптического типов.
- 4.2 2. Основные понятия теории разностных схем: дискретизация, разностный шаблон, явная и неявная схемы. Типовой алгоритм решения начально-краевой задачи для модельного уравнения теплопроводности.
- 4.3 3. Понятия сходимости, аппроксимации и устойчивости разностных схем. Теорема Лакса.
- 4.4 4. Построение разностных схем методом разложения в ряд Тейлора. Параметрические разностные схемы.
- 4.5 5. Построение разностных схем интегро-интерполяционным методом (методом конечных объемов).
- 4.6 6. Прямой анализ устойчивости разностных схем для уравнения конвективного переноса. Число Куранта (сеточное число Струхала), критерий Куранта-Фридрихса-Леви (КФЛ).
- 4.7 7. Прямой анализ устойчивости разностных схем для параболического уравнения теплопроводности в неподвижной среде. Сеточное число Рейнольдса.
- 4.8 8. Анализ устойчивости разностных схем методом дифференциального приближения (на примере явной схемы «против потока» для уравнения конвективного переноса). Понятие схемной релаксации.
- 4.9 9. Анализ устойчивости разностных схем методом Фон Неймана.
- 4.10 10. Разностные методы решения нелинейных уравнений в частных производных. Частично-неявная аппроксимация, внутренние итерации по нелинейности, линеаризация по Ньютону.
- 4.11 11. Разностные методы решения систем линейных уравнений в частных производных. Диагонально-неявная аппроксимация, векторная (матричная) прогонка.
- 4.12 12. Разностные методы решения многомерных эволюционных уравнений в частных производных. Методы расщепления, схема переменных направлений.
- 4.13 13. Обобщенный закон Ньютона для тензора напряжений. Кинематическая и динамическая вязкости.
- 4.14 14. Уравнения Навье-Стокса и их особенности (нелинейность, неэволюционность, неустойчивость). Постановка начально-краевых задач для уравнений Навье-Стокса.
- 4.15 15. Точные решения уравнений Навье-Стокса. Решение Пуазейля.
- 4.16 16. Численное решение уравнений Навье-Стокса SMAC-методом.
- 4.17 17. Проблемы, возникающие при численном решении уравнений Навье-Стокса SMAC-метом. Разрешимость краевой задачи для уравнения Пуассона для давления и методы ее решения. Проблема пилообразных осцилляций давления и разнесенная MAC-сетка.
- 5 Учебники от Сегаля
Какие-то ключевые темы
- Модельное уравнение теплопроводности
- Элементы теории аппроксимации
- Построение разностных схем методом конечных объемов
- Вычислительная устойчивость разностных схем. Простой анализ устойчивости.
- Метод дифференциального (?) приближения для анализа усойчивости разностных схем
- Метод фон Неймана анализа устойчивости разностных схем
- Численное решение нелинейных уравнений
- Численное решение уравнений с несколькими пространственными переменными
- Уравнения Навье-Стокса
- Примеры точных решений уравнений Навье-Стокса. Течение Пуазейля.
- Случай круглой трубы
- Метод SMAC
- Модификация SMAC, расщепление в дельта-форме.
Курсовой проект
TODO: запилить нормальное описание курсача
sfdfsdf
- W: Explicit and implicit methods
- W: Stiff equation
- есть пример исследования устойчивости уравнения
- Stability analysis for systems of differential equations
- есть хороший пример с явным, невным методами Эйера и Рунге-Куттой
- [1]
- Введение в разностные схемы — Самарский, стр. 19, 20
Вопросы от Сегаля
1. Классификация линейных уравнений в частных производных. Свойства консервативности и транспортивности. Типовые граничные условия для уравнений параболического и эллиптического типов.
<wikitex>Начально-краевые задачи:
- Волновое уравнение: $\frac{\partial^2 T}{\partial t^2} - u^2 \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} = 0$
- Уравнение теплопроводности (диффузии): $\frac{\partial T}{\partial t} - \kappa \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} = 0$ (описывает релаксационное приближение системы к термодинамическому равновесию)
- Уравение Лапласа: $\frac{\partial^2 T}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 T}{\partial y^2} = 0$ (описывает установившееся стационарное распределение)
Виды уравнений: гиперболическое (1), параболическое (2), эллиптическое (3).
Модельное уравнение теплопроводности: TODO
Транспортивность:
TODO Закон сохранения энергии в интегральной форме
Консервативность — если метод воспроизводит закон сохранения энергии.
</wikitex>
2. Основные понятия теории разностных схем: дискретизация, разностный шаблон, явная и неявная схемы. Типовой алгоритм решения начально-краевой задачи для модельного уравнения теплопроводности.
3. Понятия сходимости, аппроксимации и устойчивости разностных схем. Теорема Лакса.
4. Построение разностных схем методом разложения в ряд Тейлора. Параметрические разностные схемы.
5. Построение разностных схем интегро-интерполяционным методом (методом конечных объемов).
6. Прямой анализ устойчивости разностных схем для уравнения конвективного переноса. Число Куранта (сеточное число Струхала), критерий Куранта-Фридрихса-Леви (КФЛ).
7. Прямой анализ устойчивости разностных схем для параболического уравнения теплопроводности в неподвижной среде. Сеточное число Рейнольдса.
8. Анализ устойчивости разностных схем методом дифференциального приближения (на примере явной схемы «против потока» для уравнения конвективного переноса). Понятие схемной релаксации.
9. Анализ устойчивости разностных схем методом Фон Неймана.
10. Разностные методы решения нелинейных уравнений в частных производных. Частично-неявная аппроксимация, внутренние итерации по нелинейности, линеаризация по Ньютону.
11. Разностные методы решения систем линейных уравнений в частных производных. Диагонально-неявная аппроксимация, векторная (матричная) прогонка.
12. Разностные методы решения многомерных эволюционных уравнений в частных производных. Методы расщепления, схема переменных направлений.
13. Обобщенный закон Ньютона для тензора напряжений. Кинематическая и динамическая вязкости.
14. Уравнения Навье-Стокса и их особенности (нелинейность, неэволюционность, неустойчивость). Постановка начально-краевых задач для уравнений Навье-Стокса.
15. Точные решения уравнений Навье-Стокса. Решение Пуазейля.
16. Численное решение уравнений Навье-Стокса SMAC-методом.
17. Проблемы, возникающие при численном решении уравнений Навье-Стокса SMAC-метом. Разрешимость краевой задачи для уравнения Пуассона для давления и методы ее решения. Проблема пилообразных осцилляций давления и разнесенная MAC-сетка.
Учебники от Сегаля
То, что присылалось в письме когда-то
- А.А. Самарский. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука, 1971.
- Р. Рихтмайер, К. Мортон. Разностные методы решения краевых задач. М.: Мир, 1972.
- Д. Андерсон, Дж. Таннехил, Р. Плетчер. Вычислительная гидродинамика и теплообмен, т. 1,2. М.: Мир, 1990.
- К. Флетчер. Вычислительные методы в динамике жидкостей., т.1,2. М.: Мир, 1991.
- С. Патанкар. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. М.: Мир, 1984 (!!!).
- Г.Н. Дульнев, В.Г. Парфенов, А.В. Сигалов. Применение ЭВМ для решения задач теплообмена. М.: Высшая школа, 1990.
