Сумма Минковского (определение, вычисление)

Конспект готов к прочтению.

Описание

Сумма Минковского позволяет решать задачу Motion Planning, в случае, когда робота нельзя поворачивать. Таким образом, каждой точке [math](x, y)[/math] ставится в соответствие фигура робота [math]R(x, y)[/math], с точкой привязки помещенной в точку [math](x, y)[/math]. Определение: Для заданного робота [math]R[/math] и препятствия [math]P[/math], К-препятствием называется множество точек, будучи помещенным в которые, робот заденет препятствие: [math]CP := \{(x, y) : R(x, y) \cap P \neq \varnothing\}[/math]

Определение:

Суммой Минковского двух множеств [math]S_1 \subset R^2, S_2 \subset R^2[/math] называется множество [math]S_1 \oplus S_2 := \{p + q : p \in S_1, q \in S_2\}[/math], где [math]p + q[/math] обозначает векторную сумму.

Определение:

Отрицанием множества [math]S \subset R^2[/math] называется множество [math]-S := \{-p : p \in S\}[/math], где [math]-p[/math] обозначает векторное отрицание.

Теорема:

Для заданного робота [math]R[/math] и препятствия [math]P[/math], К-препятствием является множество [math]P \oplus (-R(0, 0))[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Необходимо доказать, что робот [math]R(x, y)[/math] пересекает препятствие [math]P[/math] в том и только в том случае, если [math](x, y) \in P \oplus (-R(0, 0))[/math]. Пусть робот задевает препятствие, и точка [math]q = (q_x , q_y)[/math] является точкой пересечения. Тогда, так как [math]q \in R(x, y)[/math], то [math](q_x - x, q_y - y) \in R(0,0)[/math], или [math](x - q_x , y - q_y) \in -R(0,0)[/math]. А заметив, что [math]q \in P[/math], получаем [math](x, y) \in P \oplus (-R(0,0))[/math]. В обратную сторону, пусть [math](x, y) \in P \oplus (-R(0,0))[/math], тогда существуют точки [math](r_x , r_y) \in R(0, 0)[/math] и [math](p_x , p_y) \in P[/math] такие, что [math](x, y) = (p_x - r_x , p_y - r_y)[/math] или [math](p_x , p_y) = (x + r_x , y + r_y)[/math], а это означает, что [math]R(x, y)[/math] пересекает [math]P[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Допустим, для простоты, что робот и все препятствия выпуклые, а позже обобщим для невыпуклых фигур.

Теорема:

Пусть заданы две выпуклые фигуры [math]P[/math] и [math]R[/math], с числом вершин [math]n[/math] и [math]m[/math] соответственно. Тогда суммой Минковского [math]P \oplus R[/math] является выпуклая фигура с не более чем [math]m + n[/math] вершинами.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Для начала заметим, что любая крайняя точка в направлении вектора [math]\vec{d}[/math] есть сумма крайних точек фигур в этом направлении. Убедиться в этом можно спроецировав обе фигуры на вектор [math]\vec{d}[/math]. Теперь рассмотрим произвольное ребро [math]e[/math] из [math]P \oplus R[/math]. Оно является крайним в направлении к своей нормали, а значит оно образовано крайними точками фигур, и хотя бы у одной из фигур должно быть ребро, которое является крайним в этом направлении. Сопоставим [math]e[/math] с этим ребром. Тогда сопоставив таким образом всем ребрам [math]P \oplus R[/math] ребра исходных фигур, получаем что всего ребер в [math]P \oplus R[/math] не более чем [math]m + n[/math], так как каждое ребро исходных фигур использовалось не более раза.

[math]\triangleleft[/math]

Алгоритм

 i = j = 0
 V[n] = V[0], V[n+1] = V[1], W[n] = W[0], W[n+1] = W[1]
 while i < n or j < m do
   add V[i]+W[j] to answer
   if angle(V[i], V[i+1]) < angle(W[j], W[j+1])
     ++i
   else if angle(V[i], V[i+1]) > angle(W[j], W[j+1])
     ++j
   else
     ++i, ++j

Здесь множества точек [math]V[/math] и [math]W[/math] отсортированы в порядке обхода против часовой стрелки, причем первым элементом в обоих массивах является самая левая нижняя точка множества. Функция angle возвращает значение полярного угла вектора, заданного ее аргументами.

Корректность алгоритма следует из доказательства предыдущей теоремы, а время работы равно [math]O(n + m)[/math], так как на каждой итерации хотя бы один из индексов [math]i[/math] и [math]j[/math] увеличивается.

Случай невыпуклых фигур

Для начала заметим следующий факт: [math]S_1 \oplus (S_2 \cup S_3) = (S_1 \oplus S_2) \cup (S_1 \oplus S_3)[/math]

В случае, когда одна из фигур невыпукла, её сначала надо затриангулировать, получив [math]n-2[/math] треугольников. После этого, уже известным алгоритмом, надо построить [math]n-2[/math] выпуклых фигур с не более чем [math]m+3[/math] вершинами, которые будут суммами Минковского соответствующих треугольников. Объединение этих выпуклых фигур будет состоять из [math]O(nm)[/math] вершин.

В случае, когда обе фигуры невыпуклы, обе эти фигуры надо затриангулировать, получив [math]n-2[/math] и [math]m-2[/math] треугольников соответственно. Построив суммы Минковского множеств этих треугольников получим [math](n-2)(m-2)[/math] выпуклых фигур, объединение которых состоит из [math]O(n^2m^2)[/math] вершин.

Пример суммы Минковского с O(nm) вершинами

Пример суммы Минковского с O(n2m2) вершинами