Пересечение полуплоскостей, связь с выпуклыми оболочками

Пересечение существует и выпукло, неограничено или пусто

Нужна ли нам верхняя полуплоскость?

Задача: есть конечное множество полуплоскотей, найти фигуру их пересечения или сообщить что оно пусто.

Для начала заметим, что если пересечение не пусто, то оно выпукло. (Доказательство — Пересечение выпуклых фигур выпукло, а полуплоскоть выпукла)

Пусть у нас прямые заданы уравнениями вида [math] Ax + By + C = 0 [/math]. Тогда предикат(см. рисунок) проверки того, что прямая [math] l'' : A''x + B''y + C'' = 0 [/math] лежит над пересечением прямых [math] l : Ax + By + C = 0 [/math] и [math] l' : A'x + B'y + C' = 0 [/math] будет равен [math] \begin{vmatrix} A & B & C \\ A' & B' & C' \\ A'' & B'' & C'' \end{vmatrix} [/math].

Докажем это. Для проверки предиката нам надо определить знак выражения [math] A''x_0 + B''y_0 + C'' [/math], где [math] (x_0, y_0) [/math] — точка пересечения прямых [math] l' [/math] и [math] l [/math]. Эту точку можно найти из уравнения [math] \begin{pmatrix} A & B\\ A' & B' \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_0\\ y_0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -C\\ -C' \end{pmatrix} [/math]. Решением будет [math] \begin{pmatrix} x_0\\ y_0 \end{pmatrix} = \frac{ \begin{pmatrix} B' & -B\\ -A' & A \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -C\\ -C' \end{pmatrix}} { \begin{vmatrix} A & B\\ A' & B' \end{vmatrix} } [/math]. Подставим его в [math] A''x_0 + B''y_0 + C'' [/math] и домножим на определитель.

[math] A'' (B'; -B)(-C; -C') + B'' (-A'; A)(-C; -C') + C \begin{vmatrix} A & B \\ A' & B' \end{vmatrix} = A'' \begin{vmatrix} B' & B \\ -C' & -C \end{vmatrix} - B'' \begin{vmatrix} A' & A \\ -C' & -C \end{vmatrix} + C'' \begin{vmatrix} A & A' \\ B & B' \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} A'' & A' & A \\ B'' & B' & B \\ -C'' & -C' & -C \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} A & B & C \\ A' & B' & C' \\ A'' & B'' & C'' \end{vmatrix} [/math]

Таким образом если представить прямую [math] Ax + By + C = 0 [/math] как точку с координатами [math] (A, B, C) [/math], где [math] C [/math] — однородная координата, то этот предикат — всего лишь поворот, а проверка предиката — проверка очередной точки в обходе Грэхема для нахождения выпуклой оболочки.

Алгоритм:

• Отсортировать все полуплоскости по углу наклона;
• Запустить обход Грэхема для полуплоскостей, смотрящих вниз (с предикатом-определителем);
• То же самое для смотрящих вверх;
• Пересечь две цепочки.

От пересечения цепочек напрямую зависит фигура пересечения: неограниченная область получается если одна из цепочек пуста, а ограниченная — когда обе цепочки не пусты и пересекаются.

Рассмотрим отображение [math] D [/math] между точками и прямыми, такое что:

[math] D(P(k, b)) = (Y = kX - b) [/math]

[math] D(Y = kX + b) = P(k, -b) [/math]

Это отображение не рассматривает вертикальные прямые, поэтому их мы рассмотрим в конце отдельно.

Совпадение верхнего CH и нижней огибающей

Будем обозначать, что [math] D(p) = p^* [/math], [math] D(l) = l^* [/math]

Факт дуализма:

• Точка [math] p [/math] лежит под/на/над прямой [math] l [/math] тогда и только тогда, когда [math] D(l) [/math] лежит под/на/над прямой [math] D(p) [/math];

Тогда точка [math] p \in P = \cup p_i [/math] принадлежит [math] UH(P) [/math] тогда и только тогда, когда существует такая не вертикальная прямая [math] l [/math], что [math] \forall i : p_i [/math] лежит под [math] l [/math].

Перефразируем для dual-пространства:

• Существует точка [math] l^* [/math] на прямой [math] p^* \in P^* : l^* [/math] лежит под любой прямой из [math] P^*[/math].

Рассмортим верхний конвекс-халл точек [math] P [/math] (англ. upper convex hull) и нижнюю огибающей прямых [math] P^* [/math] (англ. lower envelope). Точки в [math] P [/math] появляются в [math] UH(P) [/math] по увелечению х-координаты. Прямые в [math] P^* [/math] появляются в [math] LE(P^*) [/math] по уменьшению угла наклона. Так как угол наклона соответствует х-координате, то список точек [math] UH(P) [/math] слева-направо соответствует списку справа-налево ребер [math] LE(P^*) [/math]. Таким образом верхний конвекс-халл соответствует нижней огибающей прямых. Аналогично для нижнего СН и верхней огибающей.

Более формально: точки [math] p, q \in P : pq [/math] — ребро верхнего конвекс-халла тогда и только тогда, когда все остальные точки из [math] P [/math] лежат ниже прямой, проходящей через это ребро. В dual-пространстве получаем, что [math] \forall r^*, r \in P \setminus \{p, q\} [/math] лежат над точкой пересечения [math] p^* [/math] и [math] q^* [/math]. Это как раз условие, что [math] p^* \cap q^* [/math] — вершина [math] LE(P^*) [/math].

Таким образом получаем алгоритм:

• Считаем [math] H_+ [/math]. (полуплоскости, смотрящие вверх)
• Считаем [math] H_- [/math]. (полуплоскости, смотрящие вниз)
• Считаем [math] H_\gt [/math]. (вертикальные полуплоскости, смотрящие направо)
• Считаем [math] H_\lt [/math]. (вертикальные полуплоскости, смотрящие налево)
• Пускаем заметающую вертикальную прямую и получаем пересечение [math] H_+ \cap H_- \cap H_\gt \cap H_\lt [/math]

Стоит уточнить, что каждое из этих множеств может быть пусто. Тогда мы не рассматриваем с ним объединение. Однако в результате мы можем получить пустое множество. Это главное отличние пересечения полуплоскостей и конвекс-халла.

Источники

• Mark de Berg, Otfried Cheong, Marc van Kreveld, Mark Overmars (2008), Computational Geometry: Algorithms and Applications (3rd edition), Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-77973-5 Chapter 11 page 253-254
• http://wwwisg.cs.uni-magdeburg.de/ag/lehre/SS2012/GAG/slides/V12.pdf