Алгоритм Тарьяна поиска LCA за О(1) в оффлайне — различия между версиями
(Новая страница: «Алгоритм Тарьяна позволяет находить наименьшего общего предка двух вершин в дереве, есл...») |
|||
Строка 3: | Строка 3: | ||
Алгоритм позволяет найти ответы для дерева из n вершин и m запросов за время О(n + m), т.е при достаточно большом m, за О(1) на запрос. | Алгоритм позволяет найти ответы для дерева из n вершин и m запросов за время О(n + m), т.е при достаточно большом m, за О(1) на запрос. | ||
== Алгоритм == | == Алгоритм == | ||
− | + | Запустим обход в глубину из корня в течении которого мы найдём все ответы на наши запросы.Ответ для вершин v,u находится, когда мы уже посетели вершины u, а в v обработали всех сыновей и собираемся выйти из неё. | |
+ | Зафиксируем момент, мы собираемся выйти из вершины v(обработали всех сыновей) и хотим узнать ответ для пары v,u. | ||
+ | Тогда заметим что ответ - это либо вершина v, либо какой-то её предок.Значит нам нужно найти предок вершины v, который является предком вершины u с наибольшей глубиной. Заметим, что при фиксированном v каждый из предков вершины v порождает некоторый класс вершин u, для которых он является ответом(в этом классе содержатся все вершины которые находятся "слева" от этого предка). | ||
+ | На рисунке разные цвета-разные классы,а белые вершины ещё не просмотренные в dfs. | ||
+ | Классы этих вершин - не пересекаются,а значит мы их можем эффективно обрабаывать с помощью dsu. | ||
+ | Будем поддерживать массив ancestor[v] - представитель множества в котором содержится вершина v. | ||
+ | Для каждого класса мы образуем множество, и представителя этого множества. | ||
+ | Когда мы приходим в новую вершину v мы должны добавить её в новый класс(ancestor[v] = v),а когда просмотрим всё поддерево какого-то ребёнка, мы должны объеденить это поддерево с нашим классом(операция union), и не забыть установить представителя как вершину v(взависимости от реализации это может быть какая-то другая вершина). | ||
+ | После того как мы обработали всех детей вершины v,мы можем ответить на все запросы вида (v,u) где u-уже посещённая вершина. | ||
+ | Нетрудно заметить что ответ для lca(v,u) = ancestor(find(u)).Так же можно понять что для каждого запроса это условие(что одна вершина уже посещена, а другую мы обрабатываем) выполнится только один раз. | ||
+ | |||
+ | == Псевдокод == | ||
+ | <code>Для всех</code> <tex>u \in V</tex> | ||
+ | : <tex>d[u] \gets \infty</tex> | ||
+ | <tex>d[s] \gets 0\</tex><br> | ||
+ | <tex> U \gets \emptyset</tex><br> | ||
+ | <code>Пока</code> <tex>\exists v \notin U</tex> | ||
+ | : <code>Пусть</code> <tex>v \notin U : d[v]</tex> <code> минимальный </code> | ||
+ | : <code>Для всех</code> <tex>u \notin U</tex> <code>таких, что</code> <tex>vu \in E</tex> | ||
+ | :: <code>если</code> <tex> d[u] > d[v] + w(vu)</tex> <code>то</code> | ||
+ | ::: <tex>d[u] \gets d[v] + w (vu)</tex> | ||
+ | : <tex>U \gets v </tex> |
Версия 20:40, 4 июня 2014
Алгоритм Тарьяна позволяет находить наименьшего общего предка двух вершин в дереве, если все запросы известны заранее(offline). Каждый запрос к дереву - это 2 вершины v,u для которых нужно найти такую вершину k, что k-предок вершин v и u, и k имеет максимальную глубину из всех таких вершин. Алгоритм позволяет найти ответы для дерева из n вершин и m запросов за время О(n + m), т.е при достаточно большом m, за О(1) на запрос.
Алгоритм
Запустим обход в глубину из корня в течении которого мы найдём все ответы на наши запросы.Ответ для вершин v,u находится, когда мы уже посетели вершины u, а в v обработали всех сыновей и собираемся выйти из неё. Зафиксируем момент, мы собираемся выйти из вершины v(обработали всех сыновей) и хотим узнать ответ для пары v,u. Тогда заметим что ответ - это либо вершина v, либо какой-то её предок.Значит нам нужно найти предок вершины v, который является предком вершины u с наибольшей глубиной. Заметим, что при фиксированном v каждый из предков вершины v порождает некоторый класс вершин u, для которых он является ответом(в этом классе содержатся все вершины которые находятся "слева" от этого предка). На рисунке разные цвета-разные классы,а белые вершины ещё не просмотренные в dfs. Классы этих вершин - не пересекаются,а значит мы их можем эффективно обрабаывать с помощью dsu. Будем поддерживать массив ancestor[v] - представитель множества в котором содержится вершина v. Для каждого класса мы образуем множество, и представителя этого множества. Когда мы приходим в новую вершину v мы должны добавить её в новый класс(ancestor[v] = v),а когда просмотрим всё поддерево какого-то ребёнка, мы должны объеденить это поддерево с нашим классом(операция union), и не забыть установить представителя как вершину v(взависимости от реализации это может быть какая-то другая вершина). После того как мы обработали всех детей вершины v,мы можем ответить на все запросы вида (v,u) где u-уже посещённая вершина. Нетрудно заметить что ответ для lca(v,u) = ancestor(find(u)).Так же можно понять что для каждого запроса это условие(что одна вершина уже посещена, а другую мы обрабатываем) выполнится только один раз.
Псевдокод
Для всех
Пока
-
Пусть
минимальный
-
Для всех
таких, что
-
если
то
-