Теорема о циклах

Определение:

Циклом (англ. circuit) в матроиде называется множество, не являющееся независимым, каждое подмножество которого является независимым.

Теорема (о циклах):

Пусть [math]M[/math] — матроид и [math]\mathfrak{C}[/math] — семейство его циклов. Тогда: [math]\varnothing \notin \mathfrak{C}[/math] Если [math]C_1, C_2 \in \mathfrak{C}[/math] и [math]C_1 \ne C_2[/math], то [math]C_1 \nsubseteq C_2[/math] и [math]C_2 \nsubseteq C_1[/math] Если [math]C_1, C_2 \in \mathfrak{C}, C_1 \ne C_2[/math] и [math]p \in C_1 \cap C_2[/math], то существует [math]C \in \mathfrak{C}[/math] такой, что [math]C \subseteq (C_1 \cup C_2) \setminus p.[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Из определения матроида (первой аксиомы) [math]\varnothing \in I[/math], где [math]I[/math] — семейство независимых множеств матроида [math]M[/math]. Откуда [math]\varnothing \notin \mathfrak{C}[/math]. От противного. Из определения цикла: если [math]C_1 \subset C_2[/math], то [math]C_1 \in I[/math]. Значит [math]C_1 \notin \mathfrak{C}[/math]. Противоречие. Аналогично [math]C_2 \nsubseteq C_1[/math]. От противного. Пусть [math]D = (C_1 \cup C_2) \setminus p[/math] независимо. Обозначим [math]A = C_1 \cap C_2[/math]. Покажем, что [math]|A| \lt |D|[/math]. Из предыдущего пункта очевидным образом следует, что [math]|C_1 \setminus C_2| \gt 0[/math] и [math]|C_2 \setminus C_1| \gt 0[/math]. [math]|D| = |C_1 \setminus C_2| + |C_2 \setminus C_1| + |A| - 1 \geqslant |A| + 1 + 1 - 1 = |A| + 1 \gt |A|.[/math] Отсюда путем многократного применения третьей аксиомы матроидов получим [math]\exists B: A \subset B[/math] и [math]|B| = |D|[/math], причем [math]B[/math] — независимо. Поскольку [math]C_1[/math] — цикл, [math]C_1 \nsubseteq B[/math]. Значит, найдется хотя бы один элемент в [math]C_1 \setminus A[/math], не лежащий в [math]B[/math]. Следовательно в [math]B[/math] лежит не более чем [math]|C_1 \setminus A| - 1[/math] элементов из этого множества. Аналогично в [math]B[/math] лежит не более чем [math]|C_2 \setminus A| - 1[/math] элементов из множества [math]C_2 \setminus A[/math]. Получаем: [math]|B| \leqslant |A| + |C_1 \setminus A| - 1 + |C_2 \setminus A| - 1 = |C_1 \cup C_2| - 2 = |D| - 1[/math]. А поскольку [math]|B| = |D|[/math] получаем противоречие.

[math]\triangleleft[/math]

Источники информации

• Wikipedia — Matroid
• Википедия — Матроид