Матроид Вамоса

Матроид Вамоса или куб Вамоса — это матроид над восьмиэлементным множеством, который не изоморфен матричному ни над каким полем. Он назван в честь английского математика Питера Вамоса (Peter Vámos), который первым описал его в неопубликованной рукописи в 1968.

Задание матроида

Пусть [math] E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}[/math]. Матроид Вамоса [math]V[/math] удобно задать, назвав все его зависимые множества: это все подмножества [math]E[/math], в которых не менее пяти элементов, а также [math]\{1, 2, 5, 6\}, \{1, 2, 7, 8\}, \{3, 4, 5, 6\}, \{3, 4, 7, 8\}, \{5, 6, 7, 8\}[/math].

Теорема:

Заданная конструкция является матроидом.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Выполнение первых двух аксиом очевидно. В проверке нуждается лишь тот факт, что если [math]A[/math] и [math]B[/math] независимые множества и [math]|B| = 3[/math], [math]|A| = 4[/math], то в [math]A[/math] найдется такой элемент [math]e[/math], что [math]B \cup \{e\}[/math] — независимое множество. Когда [math]B \subset A[/math], это очевидно. В противном же случае множество [math] A \setminus B[/math] содержит по меньшей мере два различных элемента. Обозначим их через [math]e_1[/math] и [math]e_2[/math]. Теперь осталось заметить, что из множеств [math]B \cup \{e_1\}[/math] и [math]B \cup \{e_2\}[/math] хотя бы одно независимое, так как по условию нет двух зависимых множеств из четырех элементов, отличающихся одним элементом.

[math]\triangleleft[/math]

Свойства

• Все циклы матроида Вамоса имеют размер по меньшей мере равный его рангу (максимальный размер независимого множества).
• Матроид Вамоса изоморфен своему двойственному матроиду. Однако он не самодвойственен, так как это требует нетривиальную перестановку элементов.
• Многочлен Татта матроида Вамоса равен [math]x^4+4x^3+10x^2+15x+5xy+15y+10y^2+4y^3+y^4.[/math]
• Матроид Вамоса не является матричным.

Матроид Вамоса не представим ни над каким полем

Теорема:

Матроид Вамоса не представим ни над каким полем. Это значит, что не существует векторного пространства и системы из восьми векторов в нем, таких что матроид линейной независимости этих векторов изоморфен матроиду Вамоса.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Предположим, что существует изоморфный [math]V[/math] векторный матроид [math]M = \langle E, J \rangle[/math], где [math]E = \{x1, x2, {{...}} , x8 \}[/math], и для каждого [math]i[/math] вектор [math]x_i[/math] соответствует элементу [math]i[/math] матроида Вамоса. Множество [math]\{x1, x2, x3, x4\}[/math] является базисом [math]M[/math] (так как [math]\{1, 2, 3, 4\}[/math] — независимое множество в матроиде Вамоса). Запишем координаты каждого вектора в этом базисе: [math]x_i = (a_{i1}, a_{i2}, a_{i3}, a_{i4})[/math]. Для дальнейшего нам понадобятся также векторы [math]y_i = (a_{i1}, a_{i2}, 0, 0)[/math] и [math]z_i = (0, 0, a_{i3}, a_{i4})[/math], где [math]i = 1, 2, {{...}} , 8[/math]. Ввиду линейной зависимости векторов [math]x1, x2, x5, x6[/math] (соответствуют зависимому множеству в матроиде Вамоса) получаем равенство нулю определителя, составленного из координат этих векторов: [math] \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ a_{51} & a_{52} & a_{53} & a_{54} \\ a_{61} & a_{62} & a_{63} & a_{64} \end{vmatrix} = 0 [/math] отсюда [math] \begin{vmatrix} a_{53} & a_{54} \\ a_{63} & a_{64} \end{vmatrix} = 0 [/math] то есть векторы [math]z_5[/math] и [math]z_6[/math] линейно зависимы. Заметим, что вектор [math]z_5[/math] ненулевой (иначе были бы линейно зависимыми векторы [math]x_1, x_2, x_5[/math], а у нас любые три вектора линейно независимые) . Поэтому для некоторого скаляра (то есть элемента числового поля, над которым рассматривается линейное пространство) [math] \mu [/math] имеет место равенство [math]z_6 = \mu z_5[/math]. Точно так же из линейной зависимости четвёрок векторов [math]\{x_1, x_2, x_7, x_8\}, \{x_3, x_4, x_5, x_6\}, \{x_3, x_4, x_7, x_8\}[/math] получаем соответственно равенства [math]z_8 = \beta z_7, y_6 = \lambda y_5, y_8 = \alpha y_7[/math], где греческими буквами обозначены некоторые скаляры. Наконец, используем линейную зависимость векторов [math]x_5, x_6, x_7, x_8[/math]. С помощью найденных соотношений будем преобразовывать определитель, составленный из координат этих векторов (при этом вместо строк определителя для наглядности записываем поначалу соответствующие векторы): [math] \begin{vmatrix} x_5 \\ x_6 \\ x_7 \\ x_8 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} y_5+z_5 \\ y_6+z_6 \\ y_7+z_7 \\ y_8+z_8 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} y_5+z_5 \\ \lambda y_5+ \mu z_5 \\ y_7+z_7 \\ \alpha y_7+ \beta z_7 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} y_5 \\ \mu z_5 \\ y_7 \\ \beta z_7 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} y_5 \\ \mu z_5 \\ z_7 \\ \alpha y_7 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} z_5 \\ \lambda y_5 \\ y_7 \\ \beta z_7 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} z_5 \\ \lambda y_5 \\ z_7 \\ \alpha y_7 \end{vmatrix} = [/math] [math] \mu (\beta - \alpha) \begin{vmatrix} y_5 \\ z_5 \\ y_7 \\ z_7 \end{vmatrix} - \lambda ( \beta- \alpha) \begin{vmatrix} y_5 \\ z_5 \\ y_7 \\ z_7 \end{vmatrix} = ( \mu - \lambda)( \beta- \alpha) \begin{vmatrix} a_{51} & a_{52} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a_{53} & a_{54} \\ a_{71} & a_{72} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a_{73} & a_{74} \end{vmatrix} = [/math] [math]( \mu - \lambda)( \beta- \alpha) \begin{vmatrix} a_{51} & a_{52} \\ a_{71} & a_{72} \end{vmatrix} \begin{vmatrix} a_{53} & a_{54} \\ a_{73} & a_{74} \end{vmatrix} = 0[/math] Теперь заметим, что [math] \mu \ne \lambda[/math] (в противном случае линейно зависимыми будут векторы [math]x_5 = y_5 + z_5[/math] и [math]x_6 = \lambda y_5 + \mu z_5)[/math] , а [math] \alpha \ne \beta[/math] (иначе линейно зависимы векторы [math]x_7[/math] и [math]x_8[/math]) . Поэтому равен нулю один из определителей [math]\begin{vmatrix} a_{51} & a_{52} \\ a_{71} & a_{72} \end{vmatrix}[/math] или [math]\begin{vmatrix} a_{53} & a_{54} \\ a_{73} & a_{74} \end{vmatrix} [/math], например - первый из них. Но тогда [math] \begin{vmatrix} x_3 \\ x_4 \\ x_5 \\ x_7 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ a_{51} & a_{52} & a_{53} & a_{54} \\ a_{71} & a_{72} & a_{73} & a_{74} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{51} & a_{52} \\ a_{71} & a_{72} \end{vmatrix} =0 [/math] то есть векторы [math]\{x3, x4, x5, x7\}[/math] линейно зависимы, что противоречит условию.

[math]\triangleleft[/math]

Источники информации

• Wikipedia — Vámos matroid
• Элементарное введение в матроиды