Straight skeleton — различия между версиями
Shersh (обсуждение | вклад) |
Shersh (обсуждение | вклад) (→Другие алгоритмы) |
||
| Строка 29: | Строка 29: | ||
== Другие алгоритмы == | == Другие алгоритмы == | ||
| − | Известен алгоритм<ref>[http://www.cs.bgu.ac.il/~eurocg14/papers/paper_9.pdf Straight Skeletons of Monotone Polygons]</ref> построения <tex> \mathrm{straight}\ \mathrm{skeleton} </tex> для монотонных полигонов за время <tex> \mathcal{O}(n \log n)</tex> с использованием <tex> \mathcal{O}(n)</tex> памяти. Существует и более сложный алгоритм<ref>[http://www.dma.fi.upm.es/mabellanas/tfcs/skeleton/html/documentacion/straight%20skeletons%20implementation.pdf Straight Skeleton Implementation]</ref>, который строит <tex> \mathrm{straight}\ \mathrm{skeleton} </tex> за время <tex> \mathcal{O}(nm + n \log n)</tex>, где <tex> n </tex> {{---}} общее число вершин в полигоне, <tex> m </tex> {{---}} число вогнутых вершин в полигоне. | + | Известен алгоритм<ref>[http://www.cs.bgu.ac.il/~eurocg14/papers/paper_9.pdf Straight Skeletons of Monotone Polygons]</ref> построения <tex> \mathrm{straight}\ \mathrm{skeleton} </tex> для монотонных полигонов за время <tex> \mathcal{O}(n \log n)</tex> с использованием <tex> \mathcal{O}(n)</tex> памяти. Существует и более сложный алгоритм<ref>[http://www.dma.fi.upm.es/mabellanas/tfcs/skeleton/html/documentacion/straight%20skeletons%20implementation.pdf Petr Felkel, St�ep�an Obdr�z�alek, "Straight Skeleton Implementation"]</ref>, который строит <tex> \mathrm{straight}\ \mathrm{skeleton} </tex> за время <tex> \mathcal{O}(nm + n \log n)</tex>, где <tex> n </tex> {{---}} общее число вершин в полигоне, <tex> m </tex> {{---}} число вогнутых вершин в полигоне. |
== Примечания == | == Примечания == | ||
Версия 22:24, 20 октября 2014
Существует целый класс структур типа , которые описывают базовые топологические свойства объектов. Структура была придумала Oswin Aichholzer[1]. Она используются в различных практических задачах, для доказательства некоторых теорем[2], а также имеет связь с диаграммой Вороного.
Содержание
Топологические свойства
| Определение: |
| Straight skeleton (Angular Bisector Network, ABN) полигона без самопересечений определяет разбиение полигона на регионы, границами которых являются стороны полигона, биссектрисы углов и отрезки, соединяющие точки пересечения биссектрис. |
Опишем подробней, как получается такое разбиение. Мы можем представить, будто все стороны прямоугольника параллельно двигаются внутрь с одинаковой постоянной скоростью, то есть многоугольник как бы сжимается внутрь. Тогда вершины будут двигаться вдоль биссектрис , а точки пересечения биссектрис будут соединять совпавшие участки сторон прямоугольника в конце движения. В каждый момент времени от начала движения рёбер мы получаем слоистую структуру (рис 1.). На рис. 2 синим цветом выделен — множество отрезков, образованных точками пересечения при движении сторон полигона. Чем-то структура похожа на строение крыши в домах (рис. 3). И для решения этой задачи как раз и может применяться: по стенам здания необходимо спроектировать его крышу (рис. 5).
Процесса стягивания многоугольника продолжается до тех пор, пока происходят его топологические изменения, то есть меняется число вершин в стянутом многоугольнике, и таким образом появляются новые вершины дерева . Существуют два типа изменений, в ходе которых образуются новый вершины дерева:
- — данное изменение происходит, когда сторона многоугольника полностью стягивается, делая соседние стороны инцидентными.
- происходит, когда ребро разбивается на два новых ребра, исходящих из точки преломления старого. Такое событие происходит на биссектрисе вогнутой вершины многоугольника.
На рисунке изображён красным кругом, а — чёрным прямоугольником.
Свойства дерева Straight skeleton
TODO: Леммы о свойствах структуры Straight skeleton
Wavefront-алгоритм
Рассмотрим оригинальный алгоритм, который был предложен авторами этой структуры.
TODO: "Простой" алгоритм построения за n^3 (wavefront)
Другие алгоритмы
Известен алгоритм[3] построения для монотонных полигонов за время с использованием памяти. Существует и более сложный алгоритм[4], который строит за время , где — общее число вершин в полигоне, — число вогнутых вершин в полигоне.
Примечания
- ↑ Oswin Aichholzer, Franz Aurenhammera, "A Novel Type of Skeleton for Polygons"
- ↑ Wikipedia — Fold-and-cut theorem
- ↑ Straight Skeletons of Monotone Polygons
- ↑ [http://www.dma.fi.upm.es/mabellanas/tfcs/skeleton/html/documentacion/straight%20skeletons%20implementation.pdf Petr Felkel, St�ep�an Obdr�z�alek, "Straight Skeleton Implementation"]
