Алгоритм Бржозовского

Эта статья находится в разработке!

Задача:

Пусть дан автомат [math]\mathcal{A}[/math]. Требуется построить автомат [math]\mathcal{A}_{min}[/math] с наименьшим количеством состояний, распознающий тот же язык, что и [math]\mathcal{A}[/math].

Алгоритм

Описание

Алгоритм минимизации конечных автоматов Бржозовского (Janusz A. (John) Brzozowski) выделяется, по крайней мере, следующими качествами:

• Он элегантен и весьма оригинален.
• Он эффективен.
• Он работает даже с недетерминированными конечными автоматами.

Обладая обычными процедурами обращения [math]rev[/math] и детерминизации [math]det[/math] конечного автомата, мы, с помощью идеи Бржозовского, можем немедленно приступить к минимизации заданного автомата. Для этого надо дважды провести его через обе вышеуказанные процедуры:

[math]mFA = det(rev(det(rev(FA))))[/math], где

• [math]FA[/math] это исходный КА,
• [math]rev[/math] это процедура обращения КА,
• [math]det[/math] это процедура детерминизации КА,
• [math]mFA[/math] это минимизированный КА.

Псевдокод

• Обращение КА

   def fa_rev(fa):
       rfa = [list(fa[Q]), list(fa[A]), [], list(fa[F]), list(fa[S])]
       rfa[T] = [[[] for i in range(0, len(fa[A]))] for j in range(0, len(fa[Q]))]
       for t1 in range(0, len(fa[Q])):
           for a in range(0, len(fa[A])):
               for t2 in fa[T][t1][a]:
                   rfa[T][t2][a].append(t1)
       return rfa

• Детерминизация КА

   def fa_det(fa):
       def reachable(q, l):
           t = []
           for a in range(0, len(fa[A])):
               ts = set()
               for i in q[l]:
                   # объединение множеств (достижимых из l) состояний для символа a
                   ts |= set(fa[T][i][a])
               if not ts:
                   t.append([])
                   continue
               try:
                   i = q.index(ts)
               except ValueError:
                   i = len(q)
                   q.append(ts)
               t.append([i])
           return t
       dfa = [[], list(fa[A]), [], [0], []]
       q = [set(fa[S])]
       while len(dfa[T]) < len(q):
           dfa[T].append(reachable(q, len(dfa[T])))
       dfa[Q] = range(0, len(q))
       dfa[F] = [q.index(i) for i in q if set(fa[F]) & i]
       return dfa

• Алгоритм Бржозовского

   min(fa)
       return det(rev(det(rev(fa))))

См. также

• Минимизация ДКА, алгоритм за O(n^2) с построением пар различимых состояний
• Минимизация ДКА, алгоритм Хопкрофта (сложность O(n log n))

Литература

• Алгоритм Бржозовского для минимизации конечного автомата