Приведение грамматики к ослабленной нормальной форме Грейбах

Определение:

Грамматикой в нормальной форме Грейбах (Greibach normal form) называется грамматика, в которой содержатся только правила вида [math]A \rightarrow a B C [/math] [math]A \rightarrow a B[/math] [math]A \rightarrow a[/math] (где [math]a[/math] - терминал, [math]A, B, C[/math] - нетерминалы) и, возможно, правило [math]S \rightarrow \epsilon[/math] (в этом случае [math]S[/math] - начальный символ и не содержится в правых частях правил)

Определение:

Грамматикой в ослабленной нормальной форме Грейбах называется грамматика, в которой содержатся только правила вида [math]A \rightarrow a \alpha[/math] (где [math]a[/math] - терминал, [math]\alpha[/math] - строка из терминалов и нетерминалов) и, возможно, правило [math]S \rightarrow \epsilon[/math] (в этом случае [math]S[/math] - начальный символ и не содержится в правых частях правил)

Алгоритм приведения грамматики к ослабленной нормальной форме Грейбах

Приведем алгоритм, позволяющий для к.с. грамматики без ε-правил построить эквивалентную ей к.с. грамматику (без ε-правил), содержащую только правила вида [math]A \rightarrow a \alpha[/math].

Произвольную грамматику [math]\Gamma[/math] можно привести к требуемой форме следующим образом:

1. Воспользоваться алгоритмом удаления ε-правил. Получим грамматику без ε-правил для языка [math]L(\Gamma) \setminus \lbrace \epsilon \rbrace[/math]
2. Воспользоваться алгоритмом для новой грамматики
3. Если [math]\epsilon[/math] присутствовал в языке исходной грамматики, добавить новый начальный символ [math]S'[/math] и правила [math]S' \rightarrow S \, | \, \epsilon [/math]

Алгоритм для грамматики без ε-правил

Первым делом, используем алгоритм устранения левой рекурсии. После этого все правила грамматики будут иметь вид

• [math]A_i \rightarrow a \alpha [/math], где [math]\alpha[/math] - терминал
• [math]A_i \rightarrow A_j \alpha [/math], где [math]i \lt j[/math]

Затем проведем процедуру, похожую на используемую при устранении левой рекурсии:

for i = n downto 1 {

for j = n downto i + 1 {

• рассмотреть все правила вывода из [math]A_j[/math]

[math]A_j \rightarrow \delta_1 | \ldots | \delta_k[/math]

• заменить каждое правило [math]A_i \rightarrow A_j \gamma[/math] на

[math]A_i \rightarrow \delta_1\gamma | \ldots | \delta_k\gamma[/math]

}

}

Легко видеть, что после итерации главного цикла для значения [math]i[/math] все правила для [math]A_k, \, k \ge i[/math] будут иметь вид [math]A_k \rightarrow a \alpha[/math].

Следовательно, после применения процедуры все правила грамматики будут иметь вид [math]A \rightarrow a \alpha[/math].