Алгоритм LZW

Непосредственным предшественником LZW является алгоритм LZ78, опубликованный Абрахамом Лемпелем (Abraham Lempel) и Якобом Зивом (Jacob Ziv) в 1978 г. Этот алгоритм воспринимался как математическая абстракция до 1984 г., когда Терри Уэлч (Terry A. Welch) опубликовал свою работу с модифицированным алгоритмом, получившим в дальнейшем название LZW (Lempel—Ziv—Welch).

Применение

Опубликование алгоритма LZW произвело большое впечатление на всех специалистов по сжатию информации. За этим последовало большое количество программ и приложений с различными вариантами этого метода.

Этот метод позволяет достичь одну из наилучших степеней сжатия среди других существующих методов сжатия графических данных, при полном отсутствии потерь или искажений в исходных файлах. В настоящее время используется в файлах формата TIFF, PDF, GIF, PostScript и других, а также отчасти во многих популярных программах сжатия данных (ZIP, ARJ, LHA).

Описание

Процесс сжатия выглядит следующим образом: последовательно считываются символы входного потока и происходит проверка, существует ли в созданной таблице строк такая строка. Если такая строка существует, считывается следующий символ, а если строка не существует, в поток заносится код для предыдущей найденной строки, строка заносится в таблицу, а поиск начинается снова.

Например, если сжимают байтовые данные (текст), то строк в таблице окажется [math]256[/math] (от [math]"0"[/math] до [math]"255"[/math]). Если используется [math]10[/math]-битный код, то под коды для строк остаются значения в диапазоне от [math]256[/math] до [math]1023[/math]. Новые строки формируют таблицу последовательно, т. е. можно считать индекс строки ее кодом.

Для декодирования на вход подается только закодированный текст, поскольку алгоритм LZW может воссоздать соответствующую таблицу преобразования непосредственно по закодированному тексту. Алгоритм генерирует однозначно декодируемый код за счет того, что каждый раз, когда генерируется новый код, новая строка добавляется в таблицу строк. LZW постоянно проверяет, является ли строка уже известной, и, если так, выводит существующий код без генерации нового. Таким образом, каждая строка будет храниться в единственном экземпляре и иметь свой уникальный номер. Следовательно, при декодировании при получении нового кода генерируется новая строка, а при получении уже известного, строка извлекается из словаря.

Алгоритм

Кодирование

• Начало.
• Шаг 1. Все возможные символы заносятся в словарь. Во входную фразу [math]X[/math] заносится первый символ сообщения.
• Шаг 2. Считать очередной символ [math]Y[/math] из сообщения.
• Шаг 3. Если [math]Y[/math] — это символ конца сообщения, то выдать код для [math]X[/math], иначе:
  • Если фраза [math]XY[/math] уже имеется в словаре, то присвоить входной фразе значение [math]XY[/math] и перейти к Шагу 2 ,
  • Иначе выдать код для входной фразы [math]X[/math], добавить [math]XY[/math] в словарь и присвоить входной фразе значение [math]Y[/math]. Перейти к Шагу 2.
• Конец.

Декодирование

• Начало.
• Шаг 1. Все возможные символы заносятся в словарь. Во входную фразу [math]X[/math] заносится первый код декодируемого сообщения.
• Шаг 2. Считать очередной код [math]Y[/math] из сообщения.
• Шаг 3. Если [math]Y[/math] — это конец сообщения, то выдать символ, соответствующий коду [math]X[/math], иначе:
  • Если фразы под кодом [math]XY[/math] нет в словаре, вывести фразу, соответствующую коду [math]X[/math], а фразу с кодом [math]XY[/math] занести в словарь.
  • Иначе присвоить входной фразе код [math]XY[/math] и перейти к Шагу 2 .
• Конец.

Пример

Рассмотрим пример сжатия и декодирования сообщения. Сначала создадим начальный словарь единичных символов. В стандартной кодировке ASCII имеется [math]256[/math] различных символов, поэтому, для того, чтобы все они были корректно закодированы (если нам неизвестно, какие символы будут присутствовать в исходном файле, а какие — нет), начальный размер кода будет равен [math]8[/math] битам. Если нам заранее известно, что в исходном файле будет меньшее количество различных символов, то вполне разумно уменьшить количество бит. Чтобы инициализировать таблицу, мы установим соответствие кода [math]0[/math] соответствующему символу с битовым кодом [math]00000000[/math], тогда [math]1[/math] соответствует символу с кодом [math]00000001[/math], и т.д., до кода [math]255[/math].

Символ	Битовый код
a	000
b	001
c	010
d	011
e	100

Больше в таблице не будет других кодов, обладающих этим свойством.
По мере роста словаря, размер групп должен расти, с тем, чтобы учесть новые элементы. [math]8[/math]-битные группы дают [math]256[/math] возможных комбинации бит, поэтому, когда в словаре появится [math]256[/math]-е слово, алгоритм должен перейти к [math]9[/math]-битным группам. При появлении [math]512[/math]-ого слова произойдет переход к [math]10[/math]-битным группам, что дает возможность запоминать уже [math]1024[/math] слова и т.д.

В нашем примере алгоритму заранее известно о том, что будет использоваться всего [math]5[/math] различных символов, следовательно, для их хранения будет использоваться минимальное количество бит, позволяющее нам их запомнить, то есть [math]3[/math] ([math]8[/math] различных комбинаций).

Кодирование

Пусть мы сжимаем последовательность [math]abacabadabacabae[/math].

• Шаг 1: Тогда, согласно изложенному выше алгоритму, мы добавим к изначально пустой строке [math]a[/math] и проверим, есть ли строка [math]a[/math] в таблице. Поскольку мы при инициализации занесли в таблицу все строки из одного символа, то строка [math]a[/math] есть в таблице.
• Шаг 2: Далее мы читаем следующий символ [math]b[/math] из входного потока и проверяем, есть ли строка [math]ab[/math] в таблице. Такой строки в таблице пока нет.

Добавляем в таблицу [math]\langle5\rangle[/math] [math]ab[/math]. В поток: [math]\langle0\rangle[/math];

• Шаг 3: [math]ba[/math] — нет. В таблицу: [math]\langle6\rangle[/math] [math]ba[/math]. В поток: [math]\langle1\rangle[/math];
• Шаг 4: [math]ac[/math] — нет. В таблицу: [math]\langle7\rangle[/math] [math]ac[/math]. В поток: [math]\langle0\rangle[/math];
• Шаг 5: [math]ca[/math] — нет. В таблицу: [math]\langle8\rangle[/math] [math]ca[/math]. В поток: [math]\langle2\rangle[/math];
• Шаг 6: [math]ab[/math] — есть в таблице; [math]aba[/math] — нет. В таблицу: [math]\langle9\rangle[/math] [math]aba[/math]. В поток: [math]\langle5\rangle[/math];
• Шаг 7: [math]ad[/math] — нет. В таблицу: [math]\langle10\rangle[/math] [math]ad[/math]. В поток: [math]\langle0\rangle[/math];
• Шаг 8: [math]da[/math] — нет. В таблицу: [math]\langle11\rangle[/math] [math]da[/math]. В поток: [math]\langle3\rangle[/math];
• Шаг 9: [math]aba[/math] — есть в таблице; [math]abac[/math] — нет. В таблицу: [math]\langle12\rangle[/math] [math]abac[/math]. В поток: [math]\langle9\rangle[/math];
• Шаг 10: [math]ca[/math] — есть в таблице; [math]cab[/math] — нет. В таблицу: [math]\langle13\rangle[/math] [math]cab[/math]. В поток: [math]\langle8\rangle[/math];
• Шаг 11: [math]ba[/math] — есть в таблице; [math]bae[/math] — нет. В таблицу: [math]\langle14\rangle[/math] [math]bae[/math]. В поток: [math]\langle6\rangle[/math];
• Шаг 12: И, наконец последняя строка [math]e[/math], за ней идет конец сообщения, поэтому мы просто выводим в поток [math]\langle4\rangle[/math].

Текущая строка	Текущий символ	Следующий символ	Вывод		Словарь
			Код	Биты
ab	a	b	0	000	5:	ab
ba	b	a	1	001	6:	ba
ac	a	c	0	000	7:	ac
ca	c	a	2	010	8:	ca
ab	a	b	-	-	-	-
aba	b	a	5	0101	9:	aba
ad	a	d	0	0000	10:	ad
da	d	a	3	0011	11:	da
ab	a	b	-	-	-	-
aba	b	a	-	-	-	-
abac	a	c	9	1001	12:	abac
ca	c	a	-	-	-	-
cab	a	b	8	1000	13:	cab
ba	b	a	-	-	-	-
bae	a	e	6	0110	14:	bae
e	e	-	4	0100	-	-

Итак, мы получаем закодированное сообщение [math]0 1 0 2 5 0 3 9 8 6 4[/math] и его битовый эквивалент [math]000 001 010 0101 0000 0011 1001 1000 0110 0100[/math]. Каждый символ исходного сообщения был закодирован группой из трех бит, сообщение содержало [math]16[/math] символов, следовательно длина сообщения составляла [math]3 \cdot 16 = 48[/math] бит.

Закодированное же сообщение так же сначала кодировалось трехбитными группами, а при появлении в словаре восьмого слова — четырехбитными, итого длина сообщения составила [math]4 \cdot 3 + 7 \cdot 4 = 40[/math] бит, что на [math]8[/math] бит короче исходного.

Декодирование

Особенность LZW заключается в том, что для декомпрессии нам не надо сохранять таблицу строк в файл для распаковки. Алгоритм построен таким образом, что мы в состоянии восстановить таблицу строк, пользуясь только потоком кодов.

Теперь представим, что мы получили закодированное сообщение, приведённое выше, и нам нужно его декодировать. Прежде всего нам нужно знать начальный словарь, а последующие записи словаря мы можем реконструировать уже на ходу, поскольку они являются просто конкатенацией предыдущих записей. Кроме того, при кодирование и при декодирование коды в словарь добавляются при обработке одного и того же символа, т.е. это происходит “синхронно”.

Данные		На выходе	Новая запись
Биты	Код		Полная		Частичная
000	0	a	-	-	5:	a?
001	1	b	5:	ab	6:	b?
000	0	a	6:	ba	7:	a?
010	2	c	7:	ac	8:	c?
0101	5	ab	8:	ca	9:	ab?
0000	0	a	9:	aba	10:	a?
0011	3	d	10:	ad	11:	d?
1001	9	aba	11:	da	12:	aba?
1000	8	ca	12:	abac	13:	ca?
0110	6	ba	13:	cab	14:	ba?
0100	4	e	14:	bae	-	-

Примечание

Для повышения степени сжатия изображений данным методом часто используется одна "хитрость" реализации этого алгоритма. Некоторые файлы, подвергаемые сжатию с помощью LZW, имеют часто встречающиеся цепочки одинаковых символов, например [math]aaaaaaaaaaaaa... [/math] или [math]303030[/math] … и т. п. Их непосредственное сжатие будет генерировать выходной код [math]005000600007...[/math]. Спрашивается, можно ли в этом частном случае повысить степень сжатия?

Оказывается, это возможно, если оговорить некоторые действия:

Мы знаем, что для каждого кода надо добавлять в таблицу строку, состоящую из уже присутствующей там строки и символа, с которого начинается следующая строка в потоке.

• Пусть словарь состоит из слов : [math]a, b, c, d, e[/math]. Будем кодировать стоку [math] aaaaaaaaaa [/math]

Слово	Номер в словаре
a	[math]\langle0\rangle[/math]
b	[math]\langle1\rangle[/math]
c	[math]\langle2\rangle[/math]
d	[math]\langle3\rangle[/math]
e	[math]\langle4\rangle[/math]

• Итак, кодировщик заносит первую [math]a[/math] в строку, ищет и находит [math]a[/math] в словаре под номером [math]\langle0\rangle[/math]. Добавляет в строку следующую [math]a[/math], находит, что [math]aa[/math] нет в словаре. Тогда он добавляет запись [math]\langle5\rangle[/math]: [math]aa[/math] в словарь и выводит метку [math]\langle0\rangle[/math] ([math]a[/math]) в выходной поток.
• Далее строка инициализируется второй [math]a[/math], то есть принимает вид [math]a?[/math] вводится третья [math]a[/math], строка вновь равна [math]aa[/math], которая теперь имеется в словаре.
• Если появляется четвертая [math]a[/math], то строка [math]aa?[/math] равна [math]aaa[/math], которой нет в словаре. Словарь пополняется этой строкой, а на выход идет метка [math]\langle5\rangle[/math] ([math]aa[/math]).
• После этого строка инициализируется третьей [math]a[/math], и т.д. и т.п. Дальнейший процесс вполне ясен.

Текущая строка	Текущий символ	Следующий символ	Вывод		Словарь
			Код	Биты
aa	a	a	0	000	5:	aa
aa	a	a	-	-	-	-
aaa	a	a	5	101	6:	aaa
a	a	a	-	-	-	-
aa	a	a	-	-	-	-
aaa	a	a	-	-	-	-
aaaa	a	a	6	110	7:	aaaa
a	a	a	-	-	-	-
aa	a	a	-	-	-	-
aaa	a	a	-	-	-	-
aaaa	a	a	7	111	8:	aaaaa

В результате на выходе получаем последовательность [math]0567[/math]. При кодировании использовались только трехбитные группы. Длина закодированного сообщения составила [math] 4 \cdot 3 = 12 [/math] бит, что на [math] 7 \cdot 3 - 12 = 9[/math] бит короче кодирования стандартным методом LZW. Можно показать, что такая последовательность будет корректно восстановлена. Декодировщик сначала читает первый код – это [math]\langle0\rangle[/math], которому соответствует символ [math]a[/math]. Затем читает код [math]\langle5\rangle[/math], но этого кода в его таблице нет. Но мы уже знаем, что такая ситуация возможна только в том случае, когда добавляемый символ равен первому символу только что считанной последовательности, то есть [math]a[/math]. Поэтому он добавит в свою таблицу строку [math]aa[/math] с кодом [math]\langle5\rangle[/math], а в выходной поток поместит [math]aa[/math]. И так может быть раскодирована вся цепочка кодов.

Мало того, описанное выше правило кодирования мы можем применять в общем случае не только к подряд идущим одинаковым символам, но и к последовательностям, у которых очередной добавляемый символ равен первому символу цепочки.

Преимущества алгоритма LZW

• Алгоритм является однопроходным.

• Для декомпрессии не надо сохранять таблицу строк в файл для распаковки. Алгоритм построен таким образом, что мы в состоянии восстановить таблицу строк, пользуясь только потоком кодов.

Недостатки алгоритма LZW

• Алгоритм не проводит анализ входных данных.

Источники информации

• Википедия — Алгоритм Лемпеля — Зива — Велча

• Wikipedia — Lempel — Ziv — Welch

• Семенюк В.В. — Экономное кодирование дискретной информации

• Метод LZW — сжатия данных — алгоритмы и методы

• Алгоритмы сжатия и компрессии

• Алгоритм LZW — Понятие алгоритма