Изменения
→Построение BSP-дерева
<tex>
\mathrm{dist}(s_i,\ s_j) = \left\{\begin{array}{llcl}
|\{s\ \mathrm{between}\ s_i\ \mathrm{and}\ s_j \mid l(s_i) \cap s \ne \varnothing \}| & \mathrm{if}\ l(s_i) \cap s_j \ne \varnothing \\
\infty & \mathrm{otherwise} \\
Для всех конечных расстояний до отрезка <tex>s_i</tex> может быть только два отрезка с одинаковым расстоянием {{---}} те, что лежат по разные стороны от <tex>s_i</tex>.
Пусть <tex>k = \mathrm{dist}(s_i,\ s_j)</tex> и <tex>s_{j_1},\ s_{j_2},\ \ldots ,\ s_{j_k}</tex> {{---}} отрезки между <tex>s_i</tex> и <tex>s_j</tex>.
Найдём вероятность того, что при добавлении <tex>l(s_i)</tex> разрежет <tex>s_j</tex>. Чтобы это произошло, <tex>s_i</tex> должен быть рассмотрен перед <tex>s_j</tex> и перед любым из отрезков между <tex>s_i</tex> и <tex>s_j</tex>, иначе они бы защитили <tex>s_j</tex> от <tex>s_i</tex>. Другими словами, среди множества индексов <tex>\{i,\ j,\ j_1,\ \ldots ,\ j_k\}</tex> индекс <tex>i</tex> должен быть наименьшим.
Теперь мы можем ограничить ожидаемое число разрезов, происходящих при добавлении <tex>s_i</tex>:
<tex>E(</tex>число разрезов, происходящих при добавлении <tex>s_i) \leqslant \sum\limits_{i j \ne ji} \genfrac{}{}{}{0}{1}{k \mathrm{dist}(s_i, s_j) + 2} \leqslant 2 \cdot \sum\limits_{k=0}^{n - 2} \genfrac{}{}{}{0}{1}{k + 2} \leqslant 2 \ln n</tex>.
По линейности ожиданий мы можем заключить, что ожидаемое число разрезов, вызванных добавлением всех отрезков составляет не более <tex>2n\log n</tex>. Так как изначально даны <tex>n</tex> отрезков, ожидаемое число фрагментов ограничено <tex>n + 2n\log n</tex>.
