Участник:Sultan — различия между версиями
Sultan (обсуждение | вклад) |
Sultan (обсуждение | вклад) |
||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
| − | + | ==Дифференциальные уравнения первого порядка. Понятие уравнения и решения. Поле направлений. Задача Коши. Теорема Пикара. Общее, частное и особое решения== | |
| − | + | ==Методы интегрирования уравнений первого порядка. Уравнения с разделяющимися переменными. Однородное уравнение и уравнения, приводящиеся к однородным== | |
| − | + | ==Линейные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли.== | |
| − | + | ==Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.== | |
| − | + | ==Уравнения первого порядка, неразрешенные относительно производной. Уравнения Лагранжа и Клеро.== | |
| − | + | ==Дифференциальные уравнения высших порядков. Основные понятия и определения. Задача Коши. Теорема Пикара. Понижение порядка уравнения. Уравнения, не содержащие искомой функции и последовательных первых производных. Уравнения, не содержащие независимой переменной.== | |
| − | + | ==Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка. Свойства решений линейного однородного уравнения. Фундаментальная система решений и определитель Вронского. Признак линейной независимости решений. Формула Остроградского-Лиувилля.== | |
| − | + | ==Построение общего решения линейного однородного уравнения по фундаментальной системе решений. Структура общего решения неоднородного уравнения. Принцип наложения. Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа) для уравнения 2-го порядка. Случай уравнения n-го порядка.== | |
| − | + | ==Системы дифференциальных уравнений. Основные понятия и определения. Нормальная система. Задача Коши. Механическое истолкование нормальной системы и ее решения. Теорема Пикара. Связь между уравнениями высшего порядка и системами дифференциальных уравнений 1-го порядка.== | |
| − | + | == Линейные системы. Свойства линейных систем. Фундаментальная матрица. Определитель Вронского. Критерий линейной независимости вектор-функций. Формула Остроградского-Лиувилля.== | |
| − | + | == Построение общего решения линейной однородной системы по фундаментальной системе решений. Интегрирование линейной однородной системы с постоянными коэффициентами методом Эйлера.== | |
| − | + | == Структура общего решения неоднородной линейной системы. Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа).== | |
| − | + | == Матричный метод интегрирования линейной однородной системы с постоянными коэффициентами. Фундаментальная матрица. Структура фундаментальной матрицы.== | |
| − | + | == Краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка. Функция Грина краевой задачи Дирихле. Построение функции Грина. Задача Штурма-Лиувилля.== | |
| − | + | == Элементы теории устойчивости. Основные понятия и определения. Устойчивость по Ляпунову, асимптотическая устойчивость систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Уравнения возмущенного движения. Устойчивость нулевого решения.== | |
| − | + | == Устойчивость системы линейных дифференциальных уравнений. Критерий устойчивости. Устойчивость систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению. Теорема Рауса-Гурвица.== | |
| − | + | == Функции Ляпунова. Теоремы Ляпунова об устойчивости и асимптотической устойчивости. Теоремы Ляпунова и Четаева о неустойчивости.== | |
| − | + | == Особые точки на фазовой плоскости. Фазовый портрет системы. Случай однородной системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.== | |
| − | + | == Первый интеграл системы. Теорема о локальном существовании первых интегралов. Понятие порядка системы обыкновенных дифференциальных уравнений при помощи первых интегралов. Симметричная форма записи нормальной автономной системы дифференциальных уравнений. Система нелинейных дифференциальных уравнений.== | |
| − | + | == Дифференциальные уравнения первого порядка с частными производными. Линейные дифференциальные уравнения с частными производными. Уравнения характеристик. Задача Коши. Квазилинейное дифференциальное уравнение.== | |
Версия 18:28, 24 января 2015
Содержание
- 1 Дифференциальные уравнения первого порядка. Понятие уравнения и решения. Поле направлений. Задача Коши. Теорема Пикара. Общее, частное и особое решения
- 2 Методы интегрирования уравнений первого порядка. Уравнения с разделяющимися переменными. Однородное уравнение и уравнения, приводящиеся к однородным
- 3 Линейные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли.
- 4 Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.
- 5 Уравнения первого порядка, неразрешенные относительно производной. Уравнения Лагранжа и Клеро.
- 6 Дифференциальные уравнения высших порядков. Основные понятия и определения. Задача Коши. Теорема Пикара. Понижение порядка уравнения. Уравнения, не содержащие искомой функции и последовательных первых производных. Уравнения, не содержащие независимой переменной.
- 7 Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка. Свойства решений линейного однородного уравнения. Фундаментальная система решений и определитель Вронского. Признак линейной независимости решений. Формула Остроградского-Лиувилля.
- 8 Построение общего решения линейного однородного уравнения по фундаментальной системе решений. Структура общего решения неоднородного уравнения. Принцип наложения. Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа) для уравнения 2-го порядка. Случай уравнения n-го порядка.
- 9 Системы дифференциальных уравнений. Основные понятия и определения. Нормальная система. Задача Коши. Механическое истолкование нормальной системы и ее решения. Теорема Пикара. Связь между уравнениями высшего порядка и системами дифференциальных уравнений 1-го порядка.
- 10 Линейные системы. Свойства линейных систем. Фундаментальная матрица. Определитель Вронского. Критерий линейной независимости вектор-функций. Формула Остроградского-Лиувилля.
- 11 Построение общего решения линейной однородной системы по фундаментальной системе решений. Интегрирование линейной однородной системы с постоянными коэффициентами методом Эйлера.
- 12 Структура общего решения неоднородной линейной системы. Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа).
- 13 Матричный метод интегрирования линейной однородной системы с постоянными коэффициентами. Фундаментальная матрица. Структура фундаментальной матрицы.
- 14 Краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка. Функция Грина краевой задачи Дирихле. Построение функции Грина. Задача Штурма-Лиувилля.
- 15 Элементы теории устойчивости. Основные понятия и определения. Устойчивость по Ляпунову, асимптотическая устойчивость систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Уравнения возмущенного движения. Устойчивость нулевого решения.
- 16 Устойчивость системы линейных дифференциальных уравнений. Критерий устойчивости. Устойчивость систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению. Теорема Рауса-Гурвица.
- 17 Функции Ляпунова. Теоремы Ляпунова об устойчивости и асимптотической устойчивости. Теоремы Ляпунова и Четаева о неустойчивости.
- 18 Особые точки на фазовой плоскости. Фазовый портрет системы. Случай однородной системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
- 19 Первый интеграл системы. Теорема о локальном существовании первых интегралов. Понятие порядка системы обыкновенных дифференциальных уравнений при помощи первых интегралов. Симметричная форма записи нормальной автономной системы дифференциальных уравнений. Система нелинейных дифференциальных уравнений.
- 20 Дифференциальные уравнения первого порядка с частными производными. Линейные дифференциальные уравнения с частными производными. Уравнения характеристик. Задача Коши. Квазилинейное дифференциальное уравнение.
