Список заданий по ДМ-сем2

<wikitex>

Дискретная математика, алгоритмы и структуры данных, 2 семестр

1. Постройте массив, в котором сортировка выбором делает максимальное число обменов
2. Предложите алгоритм, который вычисляет число обменов, которое делает сортировка выбором, за $O(n \log n)$.
3. Найдите минимальное число сравнений для сортировки 4 элементов
4. Найдите минимальное число сравнений для сортировки 5 элементов
5. Постройте массив, в котором сортировка слиянием делает максимальное число сравнений элементов
6. Укажите способ посчитать число массивов, в которых сортировка слиянием делает максимальное число сравнений элементов
7. Предложите алгоритм слияния массива, состоящего из двух последовательно расположенных отсортированных фрагментов за $O(n)$ с использованием $O(\sqrt{n})$ дополнительной памяти
8. Предложите алгоритм слияния массива, состоящего из двух последовательно расположенных отсортированных фрагментов за $O(n)$ с использованием $O(1)$ дополнительной памяти
9. Укажите способ для алгоритма QSort с выбором среднего элемента в качестве элемента построить массив, на котором происходит максимальное число сравнений элементов
10. Укажите способ для любого детерминированного алгоритма выбора разделяющего элемента построить массив, на котором алгоритм QSort работает за $\Omega(n^2)$
11. Докажите, что с использованием только сравнений элементов нельзя выяснить, есть ли в массиве два одинаковых элемента быстрее, чем за $\Omega(n \log n)$
12. Предложите алгоритм сортировки циклических сдвигов заданного массива с $n$ элементами, каждый из которых от 1 до $n$, за $O(n^2)$. Циклические сдвиги представлять единственным числом: номером первого элемента в исходном массиве.
13. Предложите алгоритм сортировки циклических сдвигов заданного массива с $n$ элементами, каждый из которых от 1 до $n$, за $O(n \log n)$. Циклические сдвиги представлять единственным числом: номером первого элемента в исходном массиве. Указание: зная порядок на подстроках длины $L$ порядок на подстроках длины $2L$ можно восстановить за $O(n)$.
14. Пусть известно, что массив длины $n$ из чисел от 1 до $n$ получен с помощью генератора случайных чисел, каждое число независимо получено с помощью равномерного распределения. Предложите модификацию алгоритма сортировки подсчетом, который сортирует данный массив за $O(n)$ используя лишь $O(\sqrt{n})$ дополнительной памяти (обе оценки должны выполняться в среднем).
15. Задан массив, полученный циклическим сдвигом из отсортированного по возрастанию. Все элементы массива различны. Требуется за $O(\log n)$ найти в нем заданный элемент.
16. Задан массив, полученный приписыванием одного отсортированного по возрастанию массива в конец другому отсортированному по возрастанию. Все элементы массива различны. Требуется за $O(\log n)$ найти в нем заданный элемент.
17. Задан массив, полученный приписыванием отсортированного по убыванию массива в конец отсортированному по возрастанию. Все элементы массива различны. Требуется за $O(\log n)$ найти в нем заданный элемент.
18. Задан массив, полученный приписыванием отсортированного по убыванию массива в конец отсортированному по возрастанию и затем циклическим сдвигом получившегося массива. Все элементы массива различны. Требуется за $O(\log n)$ найти в нем заданный элемент.
19. Пусть выполняется целочисленный двоичный поиск с начальными значениями L = 0, R = $2^k$. Преложите алгоритм определения за $O(1)$ по заданным значениям L и R, могут ли они возникнуть в процессе двоичного поиска.
20. Пусть выполняется целочисленный двоичный поиск с начальными значениями L = 0, R = $n$. Преложите алгоритм определения за $O(\log n)$ по заданным значениям L и R, могут ли они возникнуть в процессе двоичного поиска.
21. Оцените число итераций, которые вещественный двоичный поиск с условием цикла "L != M and R != M" делает в худшем случае при начальной инициализации L = L0, R = R0, если числа L0 и R0 одного знака.
22. Оцените число итераций, которые вещественный двоичный поиск с условием цикла "L != M and R != M" делает в худшем случае при начальной инициализации L = L0, R = R0, если числа L0 и R0 разных знаков, или одно из них равно 0.
23. Предложите алгоритм определения глубины сортирующей сети за $O(k)$, где $k$ - число компараторов.
24. Докажите или опровергните, что для любого заданного неотсортированного набора из 0 и 1 существует сеть компараторов, которая сортирует все наборы кроме заданного
25. Докажите или опровергните, что для любой перестановки чисел от 1 до $n$ существует сеть компараторов, которая сортирует все перестановки, кроме заданной
26. Постройте сортирующую сеть для 5 проводов с минимальным числом компараторов
27. Предложите сортирующую сеть с $O(n \log^2 n)$ компараторов.
28. Разберитесь в том, как устроена сортирующая сеть с $O(n \log n)$ компараторов и изложите это за 15 минут, чтобы общие идеи были ясны
29. Докажите, что сортирующая сеть имеет глубину $\Omega(\log n)$
30. Как найти $s$-й по величине элемент в куче при малых $s$?
31. Предложите массив, который при превращении в кучу с помощью алгоритма за $O(n)$ требует выполнить максимальное число обменов.
32. Предложите массив, из кучи в отсортированный массив требует выполнить максимальное число обменов.
33. В массиве есть $k$ элементов, для которых нарушено условие кучи. Преваритите массив в кучу за $k \log n$ действий
34. Докажите, что нельзя проверить, есть ли в куче два одинаковых элемента быстрее, чем за $\Omega(n \log n)$.

</wikitex>