Участник:Dominica

Ажтаи (Ajtai), Комлос (Komlos) и Шимереди (Szemeredi) сконструировали сортирующую сеть на N входов глубины [math] O(\log N) [/math], при они не углублялись в исследование значения константы, получавшейся при правильном соблюдении необходимой ассимптотики. Впоследствии Патерсон выяснил, что [math] O(\log N) [/math] можно заменить на [math] c\log_2 N [/math] с константой приблизительно равной [math] 6100 [/math]. Здесь будет описана более поздняя реализация, которая включает в себя меньшую константу [math]c[/math], а именно, будет доказано, что для любого целого числа [math]N[/math] такого,что [math]N \ge 2^{78}[/math] существует сортирующая сеть на [math]N[/math] входов, такая, что глубина в худшем случае будет [math]1830 \log_2 N - 58657 [/math].

Основными составяющими этой конструкции будут сортирующие сети на [math]M[/math] входов, такие ,что [math]M[/math] относительно мало. Мы назовем их [math]M[/math]-сортировщиками. Для любых выбранных положительных целых чисел [math]M[/math] и [math]N[/math] таких что [math] N \ge M[/math], конструкция будет включать в себя [math]N[/math] проводов, и будет сделана из [math]M[/math]-сортировщиков, глубина которых в худшем случае [math](48 + о(1))\log_MN + 115[/math] при [math]M \to \inf[/math]. (Стоит отметить, что асимптотическое [math]o(1)[/math] здесь относится к [math]M[/math], а не к [math]N[/math]).

Разделители

Сначала введем все необходимые понятия для построения сортирующей сети.

Определение:

Идеальным разделителем будем называть сеть, выходные провода которой разделены на K блоков одинакового размера, таких, что принимая на вход любые [math]a[/math] значений, сеть размещает первые [math]a/k[/math] минимальные по величине ключи в первый блок, следующие [math]a/k[/math] по величине ключи – во второй, и т.д.

Эти идеальные разделители могут быть использованы как модули для построения сортирующей сети на [math]N[/math] входов, где [math]N = k^d[/math] для некоторого положительного числа d. Такая сеть будет представлять собой композицию сетей [math]N_0, N_1, N_2 .. N_{d-1}[/math], где [math]N_t[/math] – парраллельная композиция [math]k^t[/math] идеальных разделителей одинакового размера.

[math]\alpha^*(t) = \frac{t\log \frac{1}{\nu} - \log N + \log(2A\nu k^3)}{\log A}[/math]

[math]\omega^*(t) = \frac{t\log \frac{1}{\nu} + \log(A\nu k)}{\log Ak}[/math]

[math]\alpha(t) \ge \alpha^*(t),\quad \alpha(t)\equiv t\; mod\; 2 [/math]

[math]\omega(t) \ge \omega^*(t),\quad \omega(t)\equiv t\; mod\; 2 [/math]

[math] O(\log N) [/math] [math] c\log_2 N [/math]

[math] \pi(\alpha(t),t) = \begin{cases} 0,&\text{если $\alpha(t + 1)\gt \alpha(t)$,}\\ \frac{\nu}{AK}c(a(t),t), &\text{если $\alpha(t + 1)\gt \alpha(t)$.} \end{cases} [/math]

[math] \pi(i,t) = \frac{A\nu k - 1}{A^2k^2}c(i,t),\quad \text{если $\alpha(t) \lt i \lt \omega(t)$,} [/math]

[math] \pi(\omega(t),t) = \begin{cases} \frac{A\nu k - 1}{A^2k^2}c(\omega(t),t),&\text{ $\omega(t + 1)\gt \omega(t)$,}\\ \alpha(\omega(t),t),&\text{если $\omega(t + 1)\lt \omega(t)$,} \end{cases} [/math]