Материал из Викиконспекты
|
|
Строка 54: |
Строка 54: |
| | | |
| === Усиленная аппроксимативная единица === | | === Усиленная аппроксимативная единица === |
| + | {{Определение |
| + | |definition=Заменим последнюю аксиому в предыдущем определении на следующую: |
| + | : <tex>K_n \in L^\infty [-\pi; \pi], \quad \operatorname*{ess\,sup}\limits_{E\delta} |K_h| \xrightarrow[h \to x_0]{} 0</tex> |
| + | Тогда <tex>K_h</tex> — усиленная аппроксимативная единица. |
| + | }} |
| + | |
| === Метод суммирования средними арифметическими === | | === Метод суммирования средними арифметическими === |
| | | |
Версия 01:59, 21 июня 2015
Содержание
- 1 Определения
- 1.1 Интегральные неравенства Гёльдера и Минковского
- 1.2 Интеграл комплекснозначной функции
- 1.3 Пространство $L^p(E,\mu)$
- 1.4 Пространство $L^\infty(E,\mu)$
- 1.5 Существенный супремум
- 1.6 Фундаментальная последовательность, полное пространство
- 1.7 Плотное множество
- 1.8 Финитная функция
- 1.9 Гильбертово пространство
- 1.10 Ортогональная система, ортонормированная система векторов, примеры
- 1.11 Сходящийся ряд в гильбертовом пространстве
- 1.12 Ортогональная система (семейство) векторов
- 1.13 Ортонормированная система
- 1.14 Коэффициенты Фурье
- 1.15 Ряд Фурье
- 1.16 Базис, полная, замкнутая ОС
- 1.17 Тригонометрический ряд
- 1.18 Коэффициенты Фурье функции
- 1.19 Ядро Дирихле, ядро Фейера
- 1.20 Свертка
- 1.21 Аппроксимативная единица
- 1.22 Усиленная аппроксимативная единица
- 1.23 Метод суммирования средними арифметическими
- 1.24 Измеримое множество на простой двумерной поверхности в R^3
- 1.25 Мера Лебега на простой двумерной поверхности в R^3
- 1.26 Поверхностный интеграл первого рода
- 1.27 Кусочно-гладкая поверхность в R^3
- 1.28 Сторона поверхности
- 1.29 Задание стороны поверхности с помощью касательных реперов
- 1.30 Интеграл II рода
- 1.31 Ориентация контура, согласованная со стороной поверхности
- 1.32 Ротор, дивергенция векторного поля
- 1.33 Соленоидальное векторное поле
- 2 Теоремы
Определения
Интегральные неравенства Гёльдера и Минковского
Теорема (Гёльдер): |
[math](X, \mathfrak{A}, \mu)[/math] — пространство с мерой; [math]f \in L^p, g \in L^q, p \gt 1, \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = 1[/math]. Тогда [math]
\int\limits_X |fg| \, d\mu \lt +\infty
,\;
\int\limits_X \left|fg\right| \, d\mu
\leq
\left(\int\limits_X |f|^{p} \, d\mu\right)^{1/p}
\left(\int\limits_X |g|^{q} \, d\mu\right)^{1/q}[/math] |
Теорема (Минковский): |
Пусть [math](X,\mathfrak{A},\mu)[/math] — пространство с мерой, и функции [math]f,g \in L^{p}(X,\mathfrak{A},\mu)[/math]. Тогда [math]f+g \in L^p(X,\mathfrak{A},\mu)[/math], и более того:
- [math]\left(\int\limits_X |f(x) + g(x)|^p\, \mu(dx) \right)^{1/p} \leqslant \left( \int\limits_X |f(x)|^p\, \mu(dx)\right)^{1/p} + \left( \int\limits_X |g(x)|^p\, \mu(dx)\right)^{1/p}[/math].
|
Интеграл комплекснозначной функции
Пространство $L^p(E,\mu)$
Пространство $L^\infty(E,\mu)$
Существенный супремум
Определение: |
[math] f \colon X \to \overline{\mathbb R}[/math]
[math]\mathrm{ess } \sup f = \inf \{ M \in \overline{\mathbb R} \mid f(x) \leqslant M[/math] при почти всех [math]x\}[/math] |
Фундаментальная последовательность, полное пространство
Плотное множество
Финитная функция
Гильбертово пространство
Ортогональная система, ортонормированная система векторов, примеры
Сходящийся ряд в гильбертовом пространстве
Ортогональная система (семейство) векторов
Ортонормированная система
Коэффициенты Фурье
Ряд Фурье
Базис, полная, замкнутая ОС
Тригонометрический ряд
Коэффициенты Фурье функции
Ядро Дирихле, ядро Фейера
Свертка
Аппроксимативная единица
Определение: |
[math]D \subset \mathbb R, x_0 \in \overline{\mathbb R}[/math] — пред. точка [math]D[/math].
[math]\forall h \in D[/math] определена функция [math]K_h(x)[/math], удовлетворяющая свойствам:
- [math]\forall h \in D \ K_h \in L^1[-\pi; \pi] \quad \left(\int\limits_{-\pi}^\pi K_h(t) = 1\right)[/math]
- L-нормы [math]K_h[/math] огр. в свк.: [math]\exists M \, \forall h \in D \quad \int\limits_{-\pi}^{\pi} |K_h| \;dt \leqslant M[/math]
- [math]\forall \delta \gt 0 \int\limits_{E\delta} |K_n| \xrightarrow[n \to x_0]{} 0[/math]
Тогда семейство [math]K_h[/math] называется аппроксимативной единицей. |
Усиленная аппроксимативная единица
Определение: |
Заменим последнюю аксиому в предыдущем определении на следующую:
- [math]K_n \in L^\infty [-\pi; \pi], \quad \operatorname*{ess\,sup}\limits_{E\delta} |K_h| \xrightarrow[h \to x_0]{} 0[/math]
Тогда [math]K_h[/math] — усиленная аппроксимативная единица. |
Метод суммирования средними арифметическими
Измеримое множество на простой двумерной поверхности в R^3
Мера Лебега на простой двумерной поверхности в R^3
Поверхностный интеграл первого рода
Определение: |
[math]\int f(x(t), y(t), z(t)) \sqrt{x'^2 + y'^2 + z'^2} dt[/math] |
Кусочно-гладкая поверхность в R^3
Определение: |
[math]M \subset \mathbb R^3[/math] называется кусочно-гладкой, если [math]M[/math] представляет собой объединение:
- конечного числа простых гладких поверхностей
- конечного числа простых гладких дуг
- конечного числа точек
|
Сторона поверхности
Определение: |
Сторона поверхности — это непрерывное поле единичных нормалей на поверхности |
Задание стороны поверхности с помощью касательных реперов
Определение: |
Репер — упорядоченный набор из двух (неколлинеарных) касательных векторов к поверхности |
Определение: |
Поле реперов [math]v_1, v_2 \colon M \to \mathbb R^3[/math], если [math]\forall x \in M \quad \langle v_1(x), v_2(x) \rangle[/math] — касательный репер |
Определение: |
Сторона поверхности задаётся с помощью касательных реперов:
[math]n_0(x) = \dfrac{v_1(x) \times v_2(x)}{|v_1(x) \times v_2(x)|}[/math] |
Интеграл II рода
Ориентация контура, согласованная со стороной поверхности
Ротор, дивергенция векторного поля
Соленоидальное векторное поле
Теоремы
Теорема об интегрировании положительных рядов
Абсолютная непрерывность интеграла
Теорема Лебега о мажорированной сходимости для случая сходимости по мере
Теорема Лебега о мажорированной сходимости для случая сходимости почти везде
Теорема Фату
Теорема Лебега о непрерывности интеграла по параметру
Правило Лейбница дифференцирования интеграла по параметру
Вычисление интеграла Дирихле
Теорема о вычислении интеграла по взвешенному образу меры
Критерий плотности
Лемма о множествах вполне положительности заряда
Теорема Радона--Никодима
Теорема (Радон, Никодим): |
[math](X, \mathfrak{A}, \mu)[/math] — пространство с мерой, [math]\nu \colon \mathfrak{A} \to \mathbb R, \quad \mu, \nu[/math] — конечные меры, причём [math]\nu[/math] абсолютно непрерывна относительно [math]\mu[/math].
Тогда [math]\exists ! f[/math] — сумм. отн. [math]\mu[/math]
[math]f[/math] — плотность [math]\nu[/math] относительно [math]\mu[/math]. |
Доказательство: |
[math]\triangleright[/math] |
Лемма: |
[math]f, g[/math] — сумм. отн. [math]\mu[/math].
[math]\forall A \in \mathfrak{A} \int_A f \, d\mu = \int_A g \, d\mu[/math] |
Хз если честно((99 |
[math]\triangleleft[/math] |
Теорема Радона--Никодима. Доказательство существования
Лемма об оценке мер образов кубов из окрестности точки дифференцируемости
Теорема о преобразовании меры при диффеоморфизме
Теорема о гладкой замене переменной в интеграле Лебега
Теорема о произведении мер
Принцип Кавальери
Теорема Тонелли
Формула для Бета-функции
Теорема Фубини
Объем шара в $\mathbb R^m$
Теорема о вычислении интеграла по мере Бореля--Стилтьеса (с леммой)
Теорема о вложении пространств L^p
Теорема: |
[math](X, \mathfrak{A}, \mu)[/math]
[math]\mu(X) \lt +\infty[/math]
- [math]1 \leqslant s \lt r \lt +\infty[/math], тогда [math]L^r \subset L^s[/math]
- [math]\| f \|_s \leqslant (\mu(X))^{\frac{1}{s} - \frac{1}{r}} \times \| f \|_r[/math]
|
Доказательство: |
[math]\triangleright[/math] |
1. Напрямую следует из 2
2. Пусть
[math] \dfrac{r}{s} = p \gt 1[/math]
[math] q = \dfrac{r}{r - s}[/math]
Тогда: [math]\| f \|^s_s = \int\limits_X |f|^s = \int\limits_X |f|^s \cdot 1 \leqslant (\int\limits_X |f|^{s \cdot \frac{r}{s}})^\frac{s}{r} \times (\int\limits_X 1^{\frac{r}{r-s}})^\frac{r-s}{r} = \| f \|_r^s \times (\mu(X))^{1-\frac{s}{r}}[/math] (По Гельдеру) |
[math]\triangleleft[/math] |
Полнота L^p
Теорема: |
[math](X, \mathfrak{A}, \mu), L^p(X)[/math] - полное [math](1 \leqslant p \lt +\infty)[/math] |
Доказательство: |
[math]\triangleright[/math] |
Ну там сложно что-то(((( |
[math]\triangleleft[/math] |
Плотность в L^p множества ступенчатых функций
Теорема: |
[math](X, \mathfrak{A}, \mu), f - [/math] ступенчатая [math] = \sum_{k=1}^{n} C_k \times[/math] [math]\chi_{Ek}[/math]
[math]X = \bigsqcup X_k[/math]
[math]\mu X (f \neq 0) -[/math] конечно
в [math]L^p(X, \mu) (1 \leqslant p \leqslant +\infty)[/math] множество ступенчатых функций плотно |
Лемма Урысона
Теорема: |
[math]F_1, F_2 - [/math] два непересекающихся замкнутых множества из [math]\mathbb{R}^m[/math]
Тогда [math]\exists f: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}[/math] (непрырывная)[math]: f|_{F_1}=0, f|_{F_2}=1[/math] |
Плотность в L^p непрерывных финитных функций
Теорема: |
[math]\forall p: 1 \leqslant p \lt +\infty \quad C_0[/math] всюду плотно в [math]L^p(R^m)[/math] |
Теорема о непрерывности сдвига
Теорема: |
[math]f_n(x) = f(x + h)[/math]
- [math]f[/math] - равномерно непрерывна на [math]\mathbb{R}^m \Rightarrow lim_{h \to 0} \| f_n - f \|_\infty = 0[/math]
- [math]1 \leqslant p \lt +\infty \quad f \in L^p (\mathbb{R}^m) \Rightarrow lim_{h \to 0} \| f_n - f \|_p = 0[/math]
- [math]f \in \tilde{C}[0, T] \Rightarrow lim_{h \to 0} \| f_n - f \|_\infty = 0[/math]
- [math]1 \leqslant p \lt +\infty \quad f \in L^p[0, T] \Rightarrow lim_{h \to 0} \| f_n - f \|_p = 0[/math]
|
Теорема о свойствах сходимости в гильбертовом пространстве
Теорема: |
Пусть есть ГП
- [math]x_n \to x, y_n \to y \quad[/math] Тогда [math]\lt x_n, y_n\gt \to \lt x, y\gt [/math]
- [math]\sum_{n=1}^{+\infty} x_n - [/math] ряд, сходящийся в ГП. Тогда [math]\forall y \lt y, \sum_{n=1}^{+\infty} x_n\gt = \sum_{n=1}^{+\infty} \lt y, x_n\gt [/math]
- [math]\sum_{n=1}^{+\infty} x_n - [/math] ортогональный ряд. Тогда [math]\sum_{n=1}^{+\infty} x_n - [/math] сходится [math]\Leftrightarrow \sum_{n=1}^{+\infty} \| x_n \| - [/math] сходится.
|
Теорема о коэффициентах разложения по ортогональной системе
Теорема: |
[math]\mathfrak{H} -[/math] ГП
[math]\{e_k\} - [/math] Ортогональная система. [math] \quad x = \sum_{k=1}^{+\infty} C_k \times e_k[/math]
Тогда:
- [math]\{e_k\} - [/math] ЛНЗ
- [math]\dfrac{\lt x, e_k\gt }{\|e_k\|^2} = C_k[/math]
- [math]C_k \times e_k - [/math] это проекция [math]X[/math] на 1-номерное подпространство, порождённое [math]e_k[/math].
[math] x = C_k \times e_k + z \Rightarrow z \perp e_k [/math]
|
Теорема о свойствах частичных сумм ряда Фурье. Неравенство Бесселя
Теорема: |
[math]\{e_k\} - [/math] Ортогональная система в [math]\mathfrak{H}, x \in \mathfrak{H}[/math]
[math]S_n = \sum_{k=1}^{n} C_k (x) \times e_k - [/math] частичные суммы ряда Фурье
[math]\alpha_n := Lin(e_1, ..., e_n)[/math]
Тогда:
- [math]S_n - [/math] проекция [math]x[/math] на [math]\alpha_n[/math]
- [math]S_n - [/math] элемент наилучшего приближения (в [math]\alpha_n[/math]) для [math]x[/math]
[math]\| x - S_n \| = \inf_{y \in \alpha_n} {\|x - y} \|[/math]
- [math]\| S_n \| \leqslant \| x \|[/math]
Следствие:
[math]\sum |C_k(x)|^2 \times \| e_k \|^2 \leqslant \|x\|^2[/math] |
Теорема Рисса -- Фишера о сумме ряда Фурье. Равенство Парсеваля
Теорема о характеристике базиса
Лемма о вычислении коэффициентов тригонометрического ряда
Теорема Римана--Лебега
Принцип локализации Римана
Признак Дини. Следствия
Корректность определения свертки
Свойства свертки функции из $L^p$ с функцией из $L^q$
Теорема о свойствах аппроксимативной единицы
Теорема Коши о перманентности метода средних арифметических
Теорема Фейера
Полнота тригонометрической системы
Формула Грина
Формула Стокса
Формула Гаусса--Остроградского
Бескоординатное определение ротора
Бескоординатное определение дивергенции
Описание соленоидальных полей в терминах дивергенции