Список заданий по ТФЯ 2015

<wikitex>

Теория формальных языков, 5 семестр

1. Построить конечный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, в которых четность числа 0 равна четности числа 1
2. Построить конечный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, в которых число нулей кратно 3
3. Построить конечный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, в которых нет трех нулей подряд
4. Построить конечный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, которые представляют собой двоичную запись чисел, кратных 5
5. Построить конечный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, в которых число нулей не кратно 3
6. Построить конечный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, в которых есть три нуля подряд. Сделайте вывод из последних двух заданий.
7. Построить конечный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, в которых число нулей кратно 3 и которые представляют собой двоичную запись чисел кратных 5.
8. Построить конечный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, в которых число нулей кратно 3 или которые представляют собой двоичную запись чисел кратных 5. Сделайте вывод из последних двух заданий.
9. Построить конечный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, в пятый символ с конца - 0. Можно построить недетерминированный автомат.
10. Постройте детерминированный автомат для предыдущего задания или докажите, что в нем слишком много состояний, чтобы его рисовать ;).
11. Постройте регулярное выражение для языка слов над бинарным алфавитом, в которых нет двух нулей подряд.
12. Построить конечный автомат для языка слов над бинарным алфавитом, в которых число 0 кратно 3.
13. ХМУ 4.2.2, стр 163
14. ХМУ 4.2.3, стр 163
15. ХМУ 2.3.1, стр 83
16. Докажите, что минимальный ДКА для языка $(0|1)^*0(0|1)^k$ содержит минимум $2^k$ состояний
17. ХМУ 4.2.4, стр 163
18. ХМУ 4.2.5, стр 164
19. ХМУ 4.2.6, стр 164
20. ХМУ 4.2.7, стр 164
21. ХМУ 4.2.8, стр 164
22. ХМУ 4.2.10, стр 165
23. ХМУ 4.2.11, стр 165
24. Доказать нерегулярность языка слов $0^n1^n$
25. Доказать нерегулярность языка, каждое слово которого содержит поровну 0 и 1.
26. Доказать нерегулярность языка палиндромов.
27. Доказать нерегулярность языка тандемных повторов.
28. Доказать нерегулярность языка $0^n1^m$, $n \le m$
29. Доказать нерегулярность языка $0^n1^m$, $n \ne m$
30. Доказать нерегулярность языка $0^{n^2}$
31. Доказать нерегулярность языка $0^p$, $p$ — простое
32. Доказать нерегулярность языка двоичных записей простых чисел
33. Доказать нерегулярность языка $0^n1^m$, $gcd(n, m) = 1$
34. Доказать нерегулярность языка $0^a1^b2^c$, $a \ne b$ и $b \ne c$
35. Приведите пример нерегулярного языка, для которого выполнена лемма о разрастании
36. Доказать, что если состояния $u$ и $v$ автомата различимы, то $u$ и $v$ различимы строкой длины $O(n)$.
37. Предложите алгоритм проверки того, что регулярный язык бесконечен
38. Предложите алгоритм проверки того, что регулярный язык является беспрефиксным
39. Предложите алгоритм проверки того, что один регулярный язык является подмножеством другого
40. Предложите алгоритм проверки того, что регулярные языки не пересекаются
41. ХМУ 4.3.1, стр 171.
42. ХМУ 4.3.2, стр 171.
43. Рассмотрим язык $\{x_0 y_0 z_0 x_1 y_1 z_1 \dots x_{n-1} y_{n-1} z_{n-1} \mid x_i, y_i, z_i \in \{0, 1\}\}$, где $ X = x_{n-1}x_{n-2}\dots x_0$ и аналогично представляется $Y$ и $Z$, причем $ X + Y = Z $. Докажите, что этот язык регулярный.
44. То же, что и предыдущее, только $\{x_{n-1} y_{n-1} z_{n-1} \dots x_1 y_1 z_1 x_0 y_0 z_0 \mid \dots \}$.
45. Рассмотрим язык $\{x_0 y_0 z_0 x_1 y_1 z_1 \dots x_{n-1} y_{n-1} z_{n-1} \mid x_i, y_i, z_i \in \{0, 1\}\}$, где $X = x_{n-1}x_{n-2}\dots x_0$ и аналогично представляется $Y$ и $Z$, причем $X \times Y = Z$. Докажите, что этот язык не является регулярным.
46. Рассмотрим отношение на словах $L$: $x \equiv y$, если для любых $u$, $v$ выполнено $uxv \in L \Leftrightarrow uyv \in L$. Классы эквивалентности этого отношения называются синтаксическим моноидом языка $L$. Докажите, что $L$ регулярный тогда и только тогда, когда синтаксический моноид $L$ конечен.
47. Придумайте семейство регулярных языков $L_i$, у которых ДКА для $L_i$ содержит $O(i)$ состояний, а синтаксический моноид $L_i$ имеет неполиномиальный размер.
48. Постройте КС-грамматику для правильных скобочных последовательностей с двумя типами скобок.
49. Постройте КС-грамматику для языка слов над алфавитом $\{0, 1\}$, в которых число нулей равно числу единиц. Докажите, что ваша грамматика является правильной.
50. Постройте КС-грамматику для языка слов над алфавитом $\{0, 1\}$, в которых число нулей равно удвоенному числу единиц. Докажите, что ваша грамматика является правильной.
51. Постройте КС-грамматику для языка $0^k1^n2^{k+n}$.
52. Постройте КС-грамматику для языка $0^k1^n2^{k+n}\cup 1^k0^n2^{k+n}$. Сделайте вывод о свойствах КС-языков.
53. Постройте КС-грамматику для языка $0^k1^n2^{k+n}1^i0^j2^{i+j}$. Сделайте вывод о свойствах КС-языков.
54. Постройте КС-грамматику для языка $0^i1^j2^k$, $i \ne j$ или $j \ne k$.
55. Постройте КС-грамматику для языка слов над алфавитом $\{0, 1\}$, которые не являются палиндромами.
56. Постройте КС-грамматику для языка слов над алфавитом $\{0, 1\}$, которые не являются правильными скобочными последовательностями.
57. Постройте КС-грамматику для языка слов над алфавитом $\{0, 1\}$, в которых число нулей не равно числу единиц.
58. Постройте КС-грамматику для языка слов над алфавитом $\{0, 1\}$, которые не являются тандемными повторами.
59. Верно ли, что любую КС-грамматику можно привести к форме, когда любое правило имеет вид $A\to BCD$ или $A\to a$?
60. Верно ли, что любой КС-язык над односимвольным алфавитом является регулярным?