Построение компонент вершинной двусвязности — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м
(Двупроходный алгоритм)
Строка 2: Строка 2:
 
Найти [[Отношение вершинной двусвязности|компоненты вершинной двусвязности]] неориентированного графа можно с помощью [[Обход_в_глубину,_цвета_вершин |обхода в глубину]].
 
Найти [[Отношение вершинной двусвязности|компоненты вершинной двусвязности]] неориентированного графа можно с помощью [[Обход_в_глубину,_цвета_вершин |обхода в глубину]].
  
'''Первый проход
+
'''Первый проход:
 
Используем первый проход, чтобы [[Использование обхода в глубину для поиска точек сочленения|найти точки сочленения.]] <br>
 
Используем первый проход, чтобы [[Использование обхода в глубину для поиска точек сочленения|найти точки сочленения.]] <br>
  
'''Второй проход
+
'''Второй проход:
 
[[Точка сочленения, эквивалентные определения|Точка сочленения]] принадлежит как минимум двум компонентам вершинной двусвязности.
 
[[Точка сочленения, эквивалентные определения|Точка сочленения]] принадлежит как минимум двум компонентам вершинной двусвязности.
Вершина <tex> v \ne root </tex> является точкой сочленения, если у нее есть сын <tex> u : return[u] \geqslant enter[v] </tex>. <br> Это также значит, что ребро <tex> vu </tex> содержится в другой компоненте вершинной двусвязности, нежели ребро по которому мы пришли в вершину <tex> v </tex> , используя поиск в глубину. <br>
+
Вершина <tex> v \ne root </tex> является точкой сочленения, если у нее есть сын <tex> u : up[u] \geqslant tin[v] </tex>. <br> Это также значит, что ребро <tex> vu </tex> содержится в другой компоненте вершинной двусвязности, нежели ребро по которому мы пришли в вершину <tex> v </tex> , используя поиск в глубину. Получается, что перейдя по этому ребру, мы окажемся в другой компоненте вершинной двусвязности. <br>
 
Используем это свойство, чтобы окрасить компоненты вершинной двусвязности в различные цвета.<br>
 
Используем это свойство, чтобы окрасить компоненты вершинной двусвязности в различные цвета.<br>
 
=== Псевдокод второго прохода ===
 
=== Псевдокод второго прохода ===
Строка 13: Строка 13:
 
|-
 
|-
 
|  
 
|  
  '''function''' <tex>dfs</tex>(<tex>v</tex>, color, parent):
+
'''function''' <tex>dfs</tex>(<tex>v</tex>, color, parent):
      '''for''' <tex> u \in V : (v, u) \in E</tex>:
+
  '''for''' <tex> u : (v, u) \in E</tex>:
            '''if''' <tex>u</tex> == parent
+
    '''if''' <tex>u</tex> == parent
                continue
+
      '''continue'''
            '''if''' '''not''' visited[<tex>u</tex>]
+
    '''if''' '''not''' visited[<tex>u</tex>]
                '''if''' return[<tex>u</tex>] <tex>\geqslant</tex> enter[<tex>v</tex>]
+
      '''if''' up[<tex>u</tex>] <tex>\geqslant</tex> tin[<tex>v</tex>]
                    newColor <tex>\leftarrow</tex> maxColor++
+
        newColor = maxColor++
                    col[<tex>vu</tex>] <tex>\leftarrow</tex> newColor
+
        col[<tex>vu</tex>] = newColor
                    <tex>dfs</tex>(<tex>u</tex>, newColor, <tex>v</tex>)
+
        dfs(<tex>u</tex>, newColor, <tex>v</tex>)
                '''else'''
+
      '''else'''
                    col[<tex>vu</tex>] <tex>\leftarrow</tex> color
+
        col[<tex>vu</tex>] = color
                    <tex>dfs</tex>(<tex>u</tex>, color, <tex>v</tex>)
+
        dfs(<tex>u</tex>, color, <tex>v</tex>)
            '''else'''
+
    '''else''' '''if''' up[<tex>u</tex>] <tex>\leqslant</tex> tin[<tex>v</tex>]
                '''if''' enter[<tex>u</tex>] <tex>\leqslant</tex> enter[<tex>v</tex>]
+
      col[<tex>vu</tex>] = color
                    col[<tex>vu</tex>] <tex>\leftarrow</tex> color
+
    ...
+
'''for''' <tex> v \in V</tex>:
    '''for''' <tex> v \in V</tex>:
+
  '''if''' '''not''' visited[<tex>v</tex>]
        '''if''' '''not''' visited[<tex>v</tex>]
+
    dfs(<tex>v</tex>, -1, -1)
            <tex>dfs</tex>(<tex>v</tex>, -1, -1)
 
 
|width = "310px" |[[Файл:Vertex_doubleconnection_1.png‎‎|thumb|center|400px|Компоненты обозначены разным цветом]]
 
|width = "310px" |[[Файл:Vertex_doubleconnection_1.png‎‎|thumb|center|400px|Компоненты обозначены разным цветом]]
 
|}
 
|}
Строка 37: Строка 36:
 
Ребра каждой из компонент вершинной двусвязности окажутся окрашенными в свой цвет.
 
Ребра каждой из компонент вершинной двусвязности окажутся окрашенными в свой цвет.
 
<br>
 
<br>
В алгоритме выполняется два прохода <tex>dfs</tex>, каждый из которых работает <tex>O(V + E)</tex>. Значит время работы алгоритма <tex>O(V + E)</tex>.
+
В алгоритме выполняется два прохода <tex>dfs</tex>, каждый из которых работает <tex>O(|V| + |E|)</tex>. Значит время работы алгоритма <tex>O(|V| + |E|)</tex>.
  
 
== Однопроходный алгоритм ==
 
== Однопроходный алгоритм ==

Версия 22:15, 10 ноября 2015

Двупроходный алгоритм

Найти компоненты вершинной двусвязности неориентированного графа можно с помощью обхода в глубину.

Первый проход: Используем первый проход, чтобы найти точки сочленения.

Второй проход: Точка сочленения принадлежит как минимум двум компонентам вершинной двусвязности. Вершина [math] v \ne root [/math] является точкой сочленения, если у нее есть сын [math] u : up[u] \geqslant tin[v] [/math].
Это также значит, что ребро [math] vu [/math] содержится в другой компоненте вершинной двусвязности, нежели ребро по которому мы пришли в вершину [math] v [/math] , используя поиск в глубину. Получается, что перейдя по этому ребру, мы окажемся в другой компоненте вершинной двусвязности.
Используем это свойство, чтобы окрасить компоненты вершинной двусвязности в различные цвета.

Псевдокод второго прохода

function [math]dfs[/math]([math]v[/math], color, parent):
  for [math] u : (v, u) \in E[/math]:
    if [math]u[/math] == parent
      continue
    if not visited[[math]u[/math]]
      if up[[math]u[/math]] [math]\geqslant[/math] tin[[math]v[/math]]
        newColor = maxColor++
        col[[math]vu[/math]] = newColor
        dfs([math]u[/math], newColor, [math]v[/math])
      else
        col[[math]vu[/math]] = color
        dfs([math]u[/math], color, [math]v[/math])
    else if up[[math]u[/math]] [math]\leqslant[/math] tin[[math]v[/math]]
      col[[math]vu[/math]] = color

for [math] v \in V[/math]:
  if not visited[[math]v[/math]]
    dfs([math]v[/math], -1, -1)
Компоненты обозначены разным цветом


Ребра каждой из компонент вершинной двусвязности окажутся окрашенными в свой цвет.
В алгоритме выполняется два прохода [math]dfs[/math], каждый из которых работает [math]O(|V| + |E|)[/math]. Значит время работы алгоритма [math]O(|V| + |E|)[/math].

Однопроходный алгоритм

Заведем стек, в который будем записывать все дуги в порядке их обработки. Если обнаружена точка сочленения, дуги очередного блока окажутся в этом стеке, начиная с дуги дерева обхода, которая привела в этот блок, до верхушки стека.
Таким образом, каждый раз находя компоненту вершинной двусвязности мы сможем покрасить все ребра, содержащиеся в ней, в новый цвет.

Доказательство корректности алгоритма

Предположим, что граф содержит точку сочленения [math] i' \in V [/math] , за которой следует один или несколько блоков. Вершины из этих блоков образуют подмножество [math] V' \subset V [/math]. В таком случае:

  1. Все вершины [math] V' [/math] являются потомками [math] i' [/math] в дереве обхода;
  2. Все вершины [math] V' [/math] будут пройдены в течение периода серого состояния [math] i' [/math];
  3. В [math] G [/math] не может быть обратных дуг из [math] V' [/math] в [math] V \setminus V' [/math].

Значит все дуги [math] V' [/math] будут будут добавлены в стек после дуги ведущей из точки сочленения в блок. В стеке в момент обнаружения точки сочленения будут находиться только дуги блока, связанного с ней, т.к. блоки найденные до него (если таковые имеются) будет уже извлечены из стека и покрашены в свой цвет.

Псевдокод

   function [math]dfs[/math]([math]v[/math], parent):
       enter[[math]v[/math]] [math]\leftarrow[/math] return[[math]v[/math]] [math]\leftarrow[/math] time++
       for [math] u \in V : (v, u) \in E[/math]:
           if [math]u[/math] == parent 
               continue
           if not visited[[math]u[/math]]
               stack.push([math]vu[/math])
               [math]dfs[/math]([math]u, v[/math])
               if return[[math]u[/math]] [math]\geqslant[/math] enter[[math]v[/math]]
                   color [math]\leftarrow [/math] maxColor++
                   while stack.top() != [math]vu[/math]
                       colors[stack.top()] [math] \leftarrow [/math] color
                       stack.pop()
                   colors[[math]vu[/math]] [math]\leftarrow [/math] color
                   stack.pop()
               if return[[math]u[/math]] < return[[math]v[/math]]
                   return[[math]v[/math]] [math]\leftarrow[/math] return[[math]u[/math]]
           else
               if enter[[math]u[/math]] < enter[[math]v[/math]] 
                   stack.push([math]vu[/math])
               else return[[math]v[/math]] > enter[[math]u[/math]]
                   return[[math]v[/math]] [math]\leftarrow[/math] return[[math]u[/math]]
   ...
   for [math] v \in V[/math]:
       if not visited[[math]v[/math]]
           time [math]\leftarrow[/math] 0
           [math]dfs[/math]([math]v[/math], -1)


Во время алгоритма совершается один проход [math]dfs[/math], который работает за [math]O(V + E)[/math]. Внутри него совершается еще цикл, который суммарно выполняет [math]O(E)[/math] операций, т.к. каждое ребро может быть добавлено в стек только один раз. Следовательно, общее время работы алгоритма [math]O(V + E) + O(E) = O(V + E)[/math]

Источники информации

  • В.А.Кузнецов, А.М.Караваев. "Оптимизация на графах" - Петрозаводск, Издательство ПетрГУ 2007