Дифференциальные уравнения высших порядков

Задача Коши для ДУ высших порядков

Определение:

[math]F(x, y, y', \dots, y^{(n)})\:\:(1) - [/math] ДУ порядка n

Определение:

Задача отыскания решения ДУ (1), удовлетворяющего услювию [math]y(x_{0}) = y_{0}, y'(x_{0}) = y'_{0}, \:\dots\:, y^{(n - 1)}(x_{0}) = y_{0}^{(n - 1)}[/math], где [math]y_{0}, y'_{0}, \dots, y_{0}^{(n- 1)} \in \mathbb{R}[/math]

Теорема (Пикар):

Пусть ДУ разрешено относительно производной n-ного порядка т.е. [math]y^{(n)}= f(x, y, y', \dots, y^{(n - 1)})[/math], f - непрерывна в некоторой окрестности начальных условий V и [math]\frac{\partial f}{\partial y^{(j)}} \in C(V)[/math] тогда существует единственное решение задачи Коши

Определение:

Функция [math]y = \phi(x, y, C_1, \dots , C_n)[/math] является общим решением, если: 1) Система разрешима относительно производных т.е. [math]\:\:\left\{\begin{matrix} y =\phi (x, C_1, \dots, C_n) \\ y' =\phi' (x, C_1, \dots, C_n) \\ \dots \\ y^{(n - 1)} =\phi^{(n - 1)} (x, C_1, \dots, C_n) \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} C_1 =\psi_1 (x, y', \dots, y^{(n - 1)}) \\ C_2 =\psi_2 (x, y', \dots, y^{(n - 1)}) \\ \dots \\ C_n =\psi_n (x, y', \dots, y^{(n - 1)}) \end{matrix}\right.[/math] 2)[math]y = \phi(x, C_1, \dots, C_n)[/math] — решение уравнения (2) для любого набора констант [math]C_1, \dots, C_n[/math].

Специальные типы ДУ высших порядков

1) [math]y^{(m)}= f(x)\:\:\: \Rightarrow \: y = \int \dotsc \int f(x)dx + \frac{C_1x^{n - 1}}{(n - 1)!} + \frac{C_2x^{n - 2}}{(n - 2)!} + \dots + C_{n - 1}x + C_n [/math]

2)
[math]F(x, y^{(k)}, \dots, y^{(n)}) = 0 \Rightarrow y^{(k)}(x) = z(x) \Rightarrow y^{(n)} = z^{(n- k)}(x) \Rightarrow F(x, z', \dots, z^{(n - k)}) = 0[/math]
3)
[math]F(y, y', \dots, y^{(n)}) = 0 \Rightarrow y' = z(y) \Rightarrow y''=z'(y)= zz' \Rightarrow y^{(n)} = \phi (z, z', \dots, z^{(n - 1)})[/math]