577
правок
Изменения
→Теорема перечисления Пойа
== Теорема перечисления Пойа ==
Пойа показал, как получить формулу, перечисляющую орбиты в соответствии с весами и зависящую от циклической структуры подстановок данной группы.
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>A</tex> {{---}} группа подстановок, действующая на множестве <tex>X</tex> с орбитами <tex>\Theta_{1}, \Theta_{2} \cdots \Theta_{n}</tex> и <tex>\omega</tex> {{---}} функция, приписывающая веса каждой орбите (весовая функция). Более того, <tex>\omega</tex> определяется на <tex>X</tex> так, что <tex>\omega(x) = \omega(\Theta_{i})</tex>, если <tex>x \in \Theta_{i}</tex>. Тогда сумма весов орбит равна <tex>|A| \sum\limits_{i=1}^n \omega(\Theta_{i}) = \sum\limits_{\alpha \in A} \sum\limits_{x = \alpha x} \omega(x)</tex>.
|proof=
Уже упоминалось о том, что порядок <tex>|A|</tex> группы <tex>A</tex> равен <tex>|A(x)| \cdot |\Theta(x)|</tex> для любого <tex>x \in X</tex>, где <tex>A(x)</tex> {{---}} стабилизатор элемента <tex>x</tex>.
}}
