50
правок
Изменения
Нет описания правки
{{Задача
|definition=Дано [[Основные определения теории графов#oriented_grath|ориентированныйориентированное]] [[Дерево, эквивалентные определения#tree|дерево]], вершины которого раскрашены в цвета. Найти <tex>dc:V\rightarrow \{1\ldots k\}</tex>, где <tex>dc(u) -</tex> число различных цветов в поддереве с корнем в вершине <tex>u</tex>. Время работы: <tex>O(V)</tex>}}
__TOC__
==Простое решение==
Ответ на задачу можно получить достаточно просто с помощью битовых масок. Для начала в каждую вершину поместим битовую маску с цветом данной вершины. Запустим [[Обход в глубину, цвета вершин|обход в глубину]] и на выходе из каждой вершины будем записывать в неё результат побитового <tex>OR</tex> масок её детей и её самой. Таким образом в каждой вершине будет храниться битовая маска с цветами, лежащими в данном поддереве. Общая сложность алгоритма будет <tex>O(V \cdot K)</tex>, где <tex>K</tex> - количество цветов. Если количество цветов меньше размера машинного слова, то сложность будет <tex>O(V)</tex>.
==Алгоритм решения==
Будем в каждой вершине дерева хранить по числу, так, чтобы для каждого поддерева ответом была сумма всех значений в вершинах в данном поддереве. Для начала каждой вершине в качестве значения присвоим <tex>1</tex>. Теперь, если бы все вершины имели различные цвета, надо было бы пройти снизу вверх по дереву и просуммировать для каждой вершины числа, записанные в её детях. Но некоторые вершины будут иметь одинаковые цвета, и это надо как-то учитывать. Для этого запустим [[Обход в глубину, цвета вершин|обход в глубину]]. Также будем хранить для каждого цвета последнюю посещенную вершину данного цвета в массиве <tex>last[k]</tex>. Теперь, заходя в <tex>i</tex>-ую вершину с цветом <tex>col</tex>, смотрим: если вершина с таким цветом еще не встречалась, то просто присваиваем <tex>last[col]=i</tex>, иначе, если вершина с данным цветом уже встречалась, то находим [[Сведение задачи LCA к задаче RMQ|наименьшего общего предка]] данной вершины и последней вершины с таким цветом и вычитаем из их предка <tex>1</tex>, присваиваем <tex>last[col]=i</tex>. Теперь при выходе из вершины можно просуммировать числа в ее детях и получить ответ для данной вершины, так как для нее все дети уже подсчитаны. Таким образом, алгоритм запускает один обход в глубину, на каждой итерации которого ищет наименьшего общего предка. Если искать наименьшего общего предка за <tex>O(1)</tex>, к примеру [[Алгоритм Фарака-Колтона и Бендера|алгоритмом Фарака-Колтона и Бендера]], то сложность работы алгоритма будет <tex>O(V)</tex>.
==Пример==
'''func''' dfs('''Node''' v)''':'''
used[v] = <b>true</b>
'''for''' <tex>u \in v.children</tex>v.children
'''if''' !used[u]
dfs(u)
}}
Для того, чтобы учитывать вершины с одинаковым цветом, для каждой вершины требуется найти наименьшего общего предка этой вершины и вершин, предшествующих данной по времени выхода с таким же цветом и вычесть из значения этого предка <tex>1</tex>. Так, при конечном подсчете значение наименьшего общего предка данной вершины и любой вершины, предшествующей данной с тем же цветом, уменьшится на <tex>1</tex>, так как наименьший предок этой точки и любой предшествующей того же цвета находится на пути из наименьшего общего предка этой группы точек. А как раз это и требуется <tex>- </tex> для каждой пары точек одного цвета учесть данный факт в их наименьшем общем предке. И по лемме, чтобы взять наименьшего общего предка текущей вершины и всех предшествующих вершин с данным цветом, надо взять наименьшего общего предка данной вершины и предыдущей вершины с данным цветом, он будет наименьшим для всех.
[[Файл:hugh.png|300px]]
==См. также==
*[[Алгоритм Тарьяна поиска LCA за O(1) в оффлайн]]
*[[Метод двоичного подъема]]
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Задача о наименьшем общем предке]]
