Произвольно вычерчиваемые из заданной вершины графы

Определение:

Граф называется произвольно вычерчиваемым из вершины [math]v[/math] (англ. Arbitrarily traceable graph), если любая цепь с началом в вершине [math]v[/math] может быть продолжена до эйлерового цикла графа [math]G[/math]. Любой произвольно вычерчиваемый из вершины [math]v[/math] граф является эйлеровым графом.

Теорема:

Эйлеров граф [math]G[/math], содержащий хотя бы одно ребро, является произвольно вычерчиваемым из вершины [math]v[/math] [math]\Longleftrightarrow[/math] вершина [math]v[/math] принадлежит всем циклам графа [math]G[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Необходимость. Пусть в [math]G[/math] [math]\exists[/math] цикл [math]C, v \notin C[/math]. Рассмотрим [math]G_1 = G/C[/math] (здесь и далее это означает удаление только ребер, не трогая вершины). [math]G_1[/math] — эйлеров, так как при удалении цикла все степени вершин остались четными. Значит в [math]G_1[/math] [math]\exists[/math] эйлеров цикл. Если начать обход по эйлерову циклу из [math]v[/math], то и закончится он в [math]v[/math]. Если теперь вернуть цикл [math]C[/math], то мы никак не сможем его обойти [math]\Rightarrow[/math] [math]G[/math] не свободно вычерчиваемый из [math]v[/math]. Достаточность. Пусть дан эйлеров граф [math]G[/math], вершина [math]v[/math] принадлежит всем его циклам. Рассмотрим произвольный путь [math]P = (v,w)[/math]. Пусть [math]G_1 = G/P[/math]. Возможно 2 случая: 1. если [math]v = w[/math], то [math]P[/math] — цикл, значит степени всех вершин в [math]G_1[/math] остались четными [math]\Rightarrow[/math] [math]G_1[/math] — эйлеров. 2. если [math]v \neq w[/math], то так как [math]G[/math] эйлеров граф [math]\exists[/math] эйлеров путь [math](w,v) \in G_1[/math]. Покажем, что в обоих случаях эйлеров обход пройдет по всем ребрам [math]G_1[/math]. В [math]G[/math] [math]\exists[/math] единственная компонента связности, содержащая ребра. При удалении [math]P[/math] их количество не могло увеличится, иначе должен быть цикл, не содержащий [math]v[/math](смотри рисунок). Значит в [math]G_1[/math] [math]\exists[/math] единственная компонента связности содержащая ребра, причем [math]G_1[/math] хотя бы полуэйлеров [math]\Rightarrow[/math] в [math]G_1[/math] [math]\exists[/math] эйлерова цепь [math]Q = (w,v)[/math] [math]\Rightarrow[/math] [math]P+Q[/math] эйлеров цикл в графе [math]G[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Строение

Опираясь на теорему опишем строение всех графов, произвольно вычерчиваемых из вершины [math]v[/math].
Возьмем произвольный лес [math]H[/math], не содержащий вершину [math]v[/math]. Каждую вершину нечетной степени соединим некоторым нечетным числом кратных ребер с [math]v[/math], а каждую вершину четной степени [math]-[/math] четным числом кратных ребер с [math]v[/math] (не исключая 0), причем каждую изолированную вершину обязательно соединим с [math]v[/math].
Полученный граф [math]G[/math]:

• Связен;
• Имеет только вершины четной степени;
• Является произвольно вычерчиваемым из [math]v[/math], как эйлеров граф, у которого [math]v[/math] принадлежит всем циклам.

Теперь докажем, почему таким образом можно получить все графы, произвольно вычерчиваемые из вершины [math]v[/math]. Пусть какой-то такой граф нельзя получить методом описанным выше. Тогда уберем все ребра из вершины [math]v[/math] и посмотрим на граф, который остался. Он не является лесом, иначе мы могли бы получить этот граф нашим методом. Но если он не является лесом, то в нем есть хотя бы один цикл, который не содержит [math]v[/math]. А по теореме о произвольно вычерчиваемымых из вершины графах такого быть не может. Следовательно наше предположение ошибочно.

Источники

• Асанов М., Баранский В., Расин В. Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы., Ижевск: ННЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001. ISBN 5-93972-076-5