Теорема Гринберга

Базовые определения и теоремы

Определение:

Цикломатическое число графа [math] G [/math] обозначается через [math] p_1(G) [/math] и определяется с помощью следующего соотношения: [math] p_1(G) = |E(G)| - |V(G)| + p_0(G) [/math]. (1.6.1) Это число называют также числом Бетти размерности 1.

Теорема (1.35):

Цикломатическое число графа [math] G [/math] неотрицательно. Оно равно нулю тогда и только тогда, когда [math] G [/math] — лес.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Предположим сначала, что в [math] G [/math] нет ребер. Тогда [math] p_1(G) = 0 [/math] (в силу соотношения 1.6.1 и теоремы 1.20). Очевидно, что "безреберный" граф является лесом. Далее предположим, что граф [math] G [/math] есть лес и в нем содержится хотя бы одно ребро. Удаляем из [math] G [/math] ребра до тех пор, пока не получим безреберного графа [math] H [/math]. При удалении каждого ребра цикломатическое число не меняется (см. теоремы 1.32 и 1.34). Следовательно, [math] p_1(G) = p_1(H) = 0 [/math]. Наконец, рассмотрим случай, когда граф [math] G [/math] не является лесом. Тогда в [math] G [/math] содержится ребро [math] A [/math], не являющееся перешейком. Удаляя его из [math] G [/math], мы уменьшим цикломатическое число на 1 (см. теорему 1.34). Если результирующий граф не будет лесом, то процесс удаления ребра повторяем. После нескольких таких шагов (обозначим их число через [math] n [/math]) мы получим лес [math] F [/math]. Очевидно, что [math] n [/math] — положительное число, и мы имеем [math] p_1(G) = n + p_1(F) = n \gt 0 [/math].

[math]\triangleleft[/math]

Теорема (1.37):

Если [math] T [/math] — дерево, то [math] |V(T)| = |E(T)| + 1 [/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Имеем [math] p_0(T) = 1 [/math]. По теореме 1.35: [math] p_1(T) = 0 [/math]. Остается применить соотношение 1.6.1

[math]\triangleleft[/math]

Определение:

Если граф [math] G [/math] и порожденные подграфы [math] G[X] [/math] и [math] G[Y] [/math] связны, то множество [math] J(X, Y) [/math] называется бондом графа [math] G [/math]. Подграфы [math] G[X] [/math] и [math] G[Y] [/math] называются торцевыми графами этого бонда. Из приведенного определения следует, что бонд [math] J(X, Y) [/math] должен быть непустым множеством. Если граф [math] G [/math] несвязен, то его бонд определим как бонд какой-либо его компоненты. Заметим, что всякий перешеек графа образует однореберный бонд. Торцевые графы перешейка являются торцевыми графами соответствующего бонда.

Определение:

Гамильтоновым бондом называется бонд графа [math] G [/math], торцевыми графами которого являются деревья, т.е. бонд, состоящий из [math] p_1(G) + 1 [/math] ребер.

Теорема Гринберга

Теорема (Гринберг):

Пусть связный граф [math] G [/math] имеет гамильтонов бонд [math] H [/math] с торцевыми графами [math] X [/math] и [math] Y [/math]. Пусть [math] f_n^{X} [/math] и [math] f_n^{Y} [/math] — число и вершин в графов [math] X [/math] и [math] Y [/math] соответственно, имеющих в [math] G [/math] валентность [math] n ~ (n = 1, ~ 2, ~ 3, ~ \ldots) [/math]. Тогда: [math] \sum\limits_{n=1}^{\infty} (n - 2) (f_n^{X} - f_n^{Y}) = 0 [/math]. (1)

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Используя теорему 1.37, находим, что: [math] \sum\limits_{n=1}^{\infty} f_n^{X} = |E(X)| + 1 [/math]. (2) Ясно также, что: [math] \sum\limits_{n=1}^{\infty} n f_n^{X} = |E(H)| + 2|E(X)| [/math]. (3) Поэтому: [math] \sum\limits_{n=1}^{\infty} (n - 2) f_n^{X} = |E(H)| - 2 [/math]. (4) Аналогичную формулу получаем для графа [math] Y [/math]. Вычитая ее из (4), приходим к (1).

[math]\triangleleft[/math]

Использование теоремы

Теорему Гринберга можно иногда использовать для доказательства отсутствия гамильтонова бонда в графе. Пусть, например, все вершины связного графа [math] G [/math], кроме одной, имеют валентности, сравнимые с 2 по модулю 3. Тогда левая часть формулы (1) не делится на 3 и, следовательно, гамильтонова бонда в графе [math] G [/math] не существует. Рисунок 1 иллюстрирует этот простой пример.

Рис. 1

См. также

Гамильтоновы графы

Источники информации

• У. Татт. Теория графов. М.: "Мир", 1988. с. 304. ISBN 5-03-001001-7