Количество подпалиндромов в строке

Задача:

Пусть дана строка [math]s[/math], требуется посчитать количество палиндромов в ней.

Алгоритм

Идея

Рассмотрим сначала задачу поиска палиндромов нечетной длины. Центром строки нечетной длины назовем символ под индексом [math]\left\lfloor \dfrac{|t|}{2}\right\rfloor[/math]. Для каждой позиции в строке [math]s[/math] найдем длину наибольшего палиндрома с центром в этой позиции. Очевидно, что если строка [math]t[/math] является палиндромом, то строка полученная вычеркиванием первого и последнего символа из [math]t[/math] также является палиндромом, поэтому длину палиндрома можно искать бинарным поиском. Проверить совпадение левой и правой половины можно выполнить за [math]O(1)[/math], используя метод хеширования.

Для палиндромов четной длины алгоритм такой же. Центр строки четной длины — некий мнимый элемент между [math]\dfrac{|t|}{2} - 1[/math] и [math]\dfrac{|t|}{2}[/math]. Только требуется проверять вторую строку со сдвигом на единицу. Следует заметить, что мы не посчитаем никакой палиндром дважды из-за четности-нечетности длин палиндромов.

Псевдокод

int binarySearch(s : string, center, shift : int):
    //shift = 0 при поиске палиндрома нечетной длины, иначе shift = 1
    int l = -1, r = min(center, s.length - center + shift), m = 0
    while r - l != 1
        m = l + (r - l) / 2
        //reversed_hash возвращает хэш развернутой строки s
        if hash(s[center - m..center]) == reversed_hash(s[center + shift..center + shift + m])
            l = m
        else
            r = m
    return r

int palindromesCount(s : string):
    int ans = 0
    for i = 0 to s.length
        ans += binarySearch(s, i, 0) + binarySearch(s, i, 1)
    return ans

Время работы

Изначальный подсчет хешей производится за [math]O(|s|)[/math]. Каждая итерация будет выполняться за [math]O(\log(|s|))[/math], всего итераций — [math]|s|[/math]. Итоговое время работы алгоритма [math]O(|s|+|s|\cdot \log(|s|)) = O(|s|\cdot \log(|s|))[/math].

Избавление от коллизий

У хешей есть один недостаток — коллизии: можно подобрать входные данные так, что хеши разных строк будут совпадать. Абсолютно точно проверить две подстроки на совпадение можно с помощью суффиксного массива, но с дополнительной памятью [math]O(|s|\cdot \log(|s|))[/math]. Для этого построим суффиксный массив для строки [math]s + \# + reverse(s)[/math], при этом сохраним промежуточные результаты классов эквивалентности [math]c[/math]. Пусть нам требуется проверить на совпадение подстроки [math]s[i..i + l][/math] и [math]s[j..j + l][/math]. Разобьем каждую нашу строку на две пересекающиеся подстроки длиной [math]2^k[/math], где [math]k = \lfloor \log{l} \rfloor[/math]. Тогда наши строки совпадают, если [math]c[k][i] = c[k][j][/math] и [math]c[k][i + l - 2^k] = c[k][j + l - 2^k][/math].

Итоговая асимптотика алгоритма: предподсчет за построение суффиксного массива и [math]O(\log(|s|))[/math] на запрос, если предподсчитать все [math]k[/math], то [math]O(1)[/math].

См. также

• Суффиксный массив
• Поиск наибольшей общей подстроки двух строк с использованием хеширования

Источники информации

• MAXimal :: algo :: Суффиксный массив