Opij1sumwu

[math] O \mid p_{i,j} = 1 \mid \sum w_{i} U_{i} [/math]

Задача:

Дано [math]m[/math] одинаковых станков, которые работают параллельно, и [math]n[/math] работ, которые необходимо выполнить в произвольном порядке на всех станках. Любая работа на любом станке выполняется за единицу времени. Для каждой работы есть время окончания [math]d_i[/math] — время, до которого она должна быть выполнена. Требуется минимизировать [math]\sum w_{i} U_{i}[/math], то есть суммарный вес всех просроченных работ.

Алгоритм

Идея алгоритма состоит в том, что на шаге [math]k[/math] строим оптимальное решение для первых [math]k[/math] работ с наименьшими дедлайнами.

Пусть работы отсортированы в порядке возрастания дедлайнов. Пусть мы уже рассмотрели первые [math]k[/math] работ, тогда множество [math]S_k[/math] содержит только те работы, которые мы успеваем выполнить в порядке возрастания дедлайнов при оптимальном расписании. Рассмотрим работу [math]k+1[/math]. Если мы ее успеваем выполнить данную работу, до наступления дедлайна, то добавим в множество [math]S_{k}[/math] и получим множество [math]S_{k+1}[/math]. Если же [math]k+1[/math] работу мы не успеваем выполнить до дедлайна, то найдем в [math]S_k[/math] работу [math]l[/math] c наименьшим весом [math]w_{l}[/math] и заменим ее на работу [math]k+1[/math].

Таким образом, рассмотрев все работы, мы получим [math]S_{n}[/math] — множество работ, которые мы успеваем выполнить до наступления их дедлайнов, причем вес просроченных работ будет наименьшим. От порядка выполнения просроченных работ ничего не зависит, поэтому расположить в расписании их можно произвольным образом.