Триангуляция Делоне на сфере — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м
м (Существования триангуляции Делоне)
Строка 26: Строка 26:
 
Соединим произвольную точку <tex>M</tex> линии пересения плоскости <tex>\alpha</tex> со сферой с точками <tex>O</tex> и <tex>C</tex>. Так как  <tex>OC</tex> ⊥ <tex>\alpha</tex>, то <tex>OC</tex> ⊥ <tex>CM</tex>.
 
Соединим произвольную точку <tex>M</tex> линии пересения плоскости <tex>\alpha</tex> со сферой с точками <tex>O</tex> и <tex>C</tex>. Так как  <tex>OC</tex> ⊥ <tex>\alpha</tex>, то <tex>OC</tex> ⊥ <tex>CM</tex>.
  
В прямоугольном треугольнике <tex>OCM CM2 = OM2 - OC2</tex>. Т.к. <tex>OM</tex> и <tex>OC</tex> - величины постоянные, то и <tex>CM</tex> - величина постоянная. Таким образом все точки линии пересечения плоскости <tex>/alpha</tex> и сферы равноудалены от точки <tex>C</tex>, поэтому эта линия пересечения является окружностью с центром в точке <tex>C</tex> и радиусом <tex>r = CM</tex>.
+
В прямоугольном треугольнике <tex>OCM CM2 = OM2 - OC2</tex>. Т.к. <tex>OM</tex> и <tex>OC</tex> - величины постоянные, то и <tex>CM</tex> - величина постоянная. Таким образом все точки линии пересечения плоскости <tex>\alpha</tex> и сферы равноудалены от точки <tex>C</tex>, поэтому эта линия пересечения является окружностью с центром в точке <tex>C</tex> и радиусом <tex>r = CM</tex>.
 
}}
 
}}

Версия 06:26, 18 ноября 2016

Определение

Определение:
Триангуляция — набор непересекающихся отрезков, соединениющий заданный набор точек так, что добавление новых отрезков невозможно без пересечения уже имеющихся.


Определение:
Отрезок — кратчайшее расстояние от точки до точки на заданной поверхности.


Определение:
Симплекс — геометрическая фигура, являющаяся n-мерным обобщением треугольника.


Определение:
Триангуляция — разбиение геометрической фигуры на симплексы.

Существования триангуляции Делоне

Лемма (1):
Сечение сферы плоскостью есть круг, а основание перпендикуляра проведенного из центра шара к пересекаемой плоскости есть центр круга, полученного в сечении.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Drawing.png

Пусть плоскость [math]\alpha[/math] пересекает сферу. Из центра [math]O[/math] опустим перпендикуляр [math]OC[/math] на плоскость [math]\alpha[/math].

Соединим произвольную точку [math]M[/math] линии пересения плоскости [math]\alpha[/math] со сферой с точками [math]O[/math] и [math]C[/math]. Так как [math]OC[/math][math]\alpha[/math], то [math]OC[/math][math]CM[/math].

В прямоугольном треугольнике [math]OCM CM2 = OM2 - OC2[/math]. Т.к. [math]OM[/math] и [math]OC[/math] - величины постоянные, то и [math]CM[/math] - величина постоянная. Таким образом все точки линии пересечения плоскости [math]\alpha[/math] и сферы равноудалены от точки [math]C[/math], поэтому эта линия пересечения является окружностью с центром в точке [math]C[/math] и радиусом [math]r = CM[/math].
[math]\triangleleft[/math]