Использование обхода в глубину для поиска мостов — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 14: Строка 14:
 
Пусть существует удовлетворяющее условию обратное ребро <tex>(x, w)</tex>. Тогда <tex>(u, v)</tex> лежит на цикле <tex>x \rightsquigarrow v \rightarrow u \rightsquigarrow w \rightarrow x</tex> и не может быть мостом.
 
Пусть существует удовлетворяющее условию обратное ребро <tex>(x, w)</tex>. Тогда <tex>(u, v)</tex> лежит на цикле <tex>x \rightsquigarrow v \rightarrow u \rightsquigarrow w \rightarrow x</tex> и не может быть мостом.
 
}}
 
}}
Определим функцию <tex>ret(v)</tex>, где <tex>v in\ V</tex> как минимум из следущих величин <br>
+
Определим функцию <tex>ret(v)</tex>, где <tex>v \in V</tex>, как минимум из следущих величин <br>
 
<tex>enter(v)</tex> <br>
 
<tex>enter(v)</tex> <br>
<tex>enter(x)</tex>, где <tex>x</tex> - потомок <tex>v</tex>
+
<tex>enter(x)</tex>, где <tex>x</tex> - потомок <tex>v</tex> <br>
 
<tex>enter(x)</tex>, где <tex>(w, x)</tex> - обратное ребро, а <tex>w</tex> - потомок <tex>v</tex> (в нестрогом смысле)
 
<tex>enter(x)</tex>, где <tex>(w, x)</tex> - обратное ребро, а <tex>w</tex> - потомок <tex>v</tex> (в нестрогом смысле)
 +
Так как на пути от вершины к корню дерева величины <tex>enter(x)</tex> убывают, то <tex>ret(v)</tex> возвращает величину<tex>enter(u)</tex> для ближайшей к корню вершины, достижимо из <tex>v</tex> или ее потомка, возмонжно используя одно обратное ребро.

Версия 09:53, 8 декабря 2010

Постановка задачи

Дан неориентированный граф [math] G [/math]. Найти все мосты в [math] G [/math] за время [math] O(|V| + |E|)[/math]

Алгоритм

Теорема:
Пусть [math] T [/math] - дерево обхода в глубину графа [math] G[/math]. Ребро [math] (u, v) [/math] является мостом тогда и только тогда, когда [math] (u, v) \in T[/math] и из вершины [math] v[/math] и любого ее потомка нет обратного ребра в вершину [math] u[/math] или предка [math] u [/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

[math] \Leftarrow[/math]
Удалим [math] (u, v)[/math] из [math] G[/math] Докажем, что мы не сможем достичь ни одного из предков [math] v [/math] (в частности [math] u [/math]). Пусть это не так, и [math] w[/math] - предпоследняя вершина на пути от [math] v[/math] до ее предка [math]x [/math]. Очевидно, [math] (w, x)[/math] не ребро дерева (в силу единственности пути в дереве). Если [math] (w, x)[/math] - обратное ребро, то это противоречит условию теоремы, т.к. [math] x[/math] - предок [math] u[/math]
[math] \Rightarrow[/math]
Докажем что из отрицания второго утверждения следует отрицание первого.

Пусть существует удовлетворяющее условию обратное ребро [math](x, w)[/math]. Тогда [math](u, v)[/math] лежит на цикле [math]x \rightsquigarrow v \rightarrow u \rightsquigarrow w \rightarrow x[/math] и не может быть мостом.
[math]\triangleleft[/math]

Определим функцию [math]ret(v)[/math], где [math]v \in V[/math], как минимум из следущих величин
[math]enter(v)[/math]
[math]enter(x)[/math], где [math]x[/math] - потомок [math]v[/math]
[math]enter(x)[/math], где [math](w, x)[/math] - обратное ребро, а [math]w[/math] - потомок [math]v[/math] (в нестрогом смысле) Так как на пути от вершины к корню дерева величины [math]enter(x)[/math] убывают, то [math]ret(v)[/math] возвращает величину[math]enter(u)[/math] для ближайшей к корню вершины, достижимо из [math]v[/math] или ее потомка, возмонжно используя одно обратное ребро.