Изменения
→Локальный критерий Делоне
В силу того, что локальный критерий выполняется, эта точка не принадлежит соседним треугольникам, в частности смежному треугольнику <tex>ABD</tex> по ребру <tex>AB</tex>
За <tex>AB</tex> мы обозначили ребро, такое, что если провести сечение через точки <tex>A</tex>, <tex>B</tex> и <tex>O</tex> (центр окружности), то точка <tex>E</tex> содержится в полусфере, не содержащей треугольник <tex>ABC</tex>. Обозначим множество треугольников в этой полусфере за <tex>X</tex>.
Так как точка <tex>E</tex> лежит над плоскостью <tex>ABC</tex>, а точка <tex>D</tex> под плоскостью <tex>ABC</tex>, то точка <tex>E</tex> лежит над плоскостью <tex>ABD</tex>.(с учетом того, что они лежат в одной полусфере, ребро AB общее и отделяет треугольник <tex>ABC</tex> от полусферы)
Посмотрим, существует ли у треугольника <tex>ABD</tex> смежный треугольник, содержащий вершину <tex>E</tex>:
#Если он существует, то локальный критерий для треугольника <tex>ADE</tex> не выполняется. Противоречие.#Если он не существует, то точка <tex>E</tex> так же будет лежать "над" каким-то смежным с <tex>ABD</tex> треугольником (аналогично процессу с треугольником <tex>ABC</tex>). Повторим операцию от треугольника <tex>ABD</tex>. На каждой новой итерации мы будем объединять множество <tex>X</tex> с множеством треугольников из предыдущего шара. Так как количество треугольников конечно (в исходной полусфере, где содержалась точка E), процесс сойдется (на каждом шаге выбор полусферы будет уменьшать количество треугольников из предыдущего множества). Так как точка E принадлежит триангуляции, то на каком-то шаге итерации (пусть это будет треугольник <tex>XYZE</tex>) соседний треугольник будет содержать точку E, которая лежит выше плоскости содержалась в каждом множестве <tex>XYZX</tex>из каждого шага, но это противоречит локальном критериюто мы достигнем смежного с ней треугольника, в котором получим противоречии с локальным критерием Делоне. Противоречие. Значит глобальный критерий Делоне выполняется.
}}
