113
правок
Изменения
Доказательство леммы из →Аффинная независимость
{{Лемма
|statement=Пусть <math>\langle A, V, (+)\rangle</math> – это аффинное пространство. Пусть <math>\{a_i\}_{i \in I}</math> – множество точек из <math>A</math>. Если для какого-то <math>i \in I</math> множество векторов <math>\{\overrightarrow{a_i a_j}\}_{j \in I \setminus \{i\}}</math> линейно независимо, то для любого <math>i \in I</math> множество <math>\{\overrightarrow{a_i a_j}\}_{j \in I \setminus \{i\}}</math> будет линейно независимо.
|proof=Пусть для какого-то <math>i \in I</math> множество векторов <math>\{\overrightarrow{a_i a_j}\}_{j \in I \setminus \{i\}}</math> линейно независимо, <math>k \in I</math> и пусть есть такой набор <math>\{\lambda_j\}_{j \in I \setminus \{k\}}</math>, что
<math>\displaystyle \sum_{j \in I \setminus \{k\}} \lambda_j \cdot \overrightarrow{a_k a_j} = 0</math>.
Поскольку <math>\overrightarrow{a_k a_j} = \overrightarrow{a_k a_i} + \overrightarrow{a_i a_j}</math>, мы имеем
<math> \displaystyle
\begin{aligned}
\sum_{j \in I \setminus \{k\}} \lambda_j \cdot \overrightarrow{a_k a_j} &=
\sum_{j \in I \setminus \{k\}} \lambda_j \cdot \overrightarrow{a_k a_i} + \sum_{j \in I \setminus \{k\}} \lambda_j \cdot \overrightarrow{a_i a_j} \\
&= \sum_{j \in I \setminus \{k\}} \lambda_j \cdot \overrightarrow{a_k a_i} + \sum_{j \in I \setminus \{i,k\}} \lambda_j \cdot \overrightarrow{a_i a_j} \\
&= \sum_{j \in I \setminus \{i,k\}} \lambda_j \cdot \overrightarrow{a_i a_j} - \left(\sum_{j \in I \setminus \{k\}} \lambda_j\right) \cdot \overrightarrow{a_i a_k} = 0 \text{.}
\end{aligned}
</math>
Из этого следует, что <math>\forall j \in (I \setminus \{i, k\}) : \lambda_j = 0</math> и <math>\sum_{j \in I \setminus \{k\}} \lambda_j = 0</math>, поскольку набор векторов <math>\{\overrightarrow{a_i a_j}\}_{j \in I \setminus \{i\}}</math> линейно зависим, Значит, <math>\forall j \in (I \setminus \{k\}) : \lambda_j = 0</math>, то есть линейная комбинация тривиальна.
}}
Эта лемма даёт возможность говорить о независимости множества точек без выделения одной из них.
