30
правок
Изменения
Нет описания правки
=== Перестановки ===
'''Перестановки<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%BA%D0%B0 Википедия — Перестановки]</ref>''' — это упорядоченный набор чисел <tex>1, 2,\ldots, n</tex>, обычно трактуемый как биекция на множестве <tex>\{ 1, 2,\ldots, n \}</tex>, которая числу <tex>i</tex> ставит соответствие <tex>i</tex>-й элемент из набора. Количество перестановок равно <tex>P_n = n!</tex>. Получить эту формулу можно следующим образом: поставим один из <tex>n</tex> элементов на первое место, далее поставим на второе один из <tex>n - 1</tex> оставшихся элементов,... один из <tex>1</tex> элемента на последнее. Всего таких выборов можно совершить <tex>n \times (n - 1) \times ... \times 1 = n!</tex>.
=== Перестановки с повторениями ===
'''Перестановки с повторениями''' — это те же перестановки, однако некоторые элементы могут встречаться несколько раз. Число различных перестановок с повторениями из элементов <tex>{a_1, a_2, ..., a_n}</tex>, в которых эти элементы повторяются соответственно <tex>k_1, k_2, ..., k_n</tex> раз, равно <tex dpi = "150">\frac{(k_1 + k_2 + ... + k_n)!}{k_1!k_2!...k_n!}</tex>. Выведем формулу. Всего перестановок <tex>(k_1 + k_2 + ... + k_n)!</tex>, однако среди них есть и повторяющиеся. Такие попадаются, когда мы переставляем местами одинаковые элементы. Тогда всего повторяющихся перестановок будет в <tex>k_1!k_2!...k_n!</tex> раз. В итоге получаем необходимую формулу.
=== Размещения ===
'''Размещение'''<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D0%B0%D0%B7%D0%BC%D0%B5%D1%89%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Википедия — Размещения]</ref> из <tex>n</tex> по <tex>k</tex> — это упорядоченный набор из <tex>k</tex> различных элементов некоторого <tex>n</tex>-элементного множества. Таких наборов <texdpi = "150">A^{k}_n = \frac{n!}{(n - k)!}</tex>. Выведем формулу подобно тому, как выводили для '''перестановок''': на первое место можно поставить один из <tex>n</tex> элементов, на следующее один из <tex>n - 1</tex>,... и на последнее один из <tex>n - k + 1</tex>. Всего получится <texdpi = "150">n \times (n - 1) \times ... \times (n - k + 1) = \frac{n!}{(n - k)!}</tex>. === Размещения с повторениями ==='''Размещение с повторениями''', составленное из данных <tex>n</tex> элементов по <tex>k</tex> — это отображение множества <tex>k</tex> первых натуральных чисел <tex>1, 2, ..., k</tex> в данное множество <tex>\{a_1, a_2, ..., a_n\}</tex>. Всего таких элементов <tex>n^k</tex>. Формула выводится так же, как и для битовых векторов.
=== Сочетания ===
'''Сочетания<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%BE%D1%87%D0%B5%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Википедия — Сочетания]</ref>''' из <tex>n</tex> по <tex>k</tex> — это набор <tex>k</tex> элементов, выбранных из данных <tex>n</tex> элементов. Количество таких наборов вычисляется по формуле <texdpi = "150">C^{k}_n = \frac{n!}{k!(n - k)!}</tex>. Выведем данную формулу из формулы размещений, а именно заметим, что в размещениях порядок элементов имеет значение, а в сочетаниях нет. Это значит, что наборы <tex>\{1, 2\}</tex> и <tex>\{2, 1\}</tex> эквивалентны. То есть в размещениях любой вариант сочетания повторяется столько же раз, сколько можно сделать перестановок для <tex>k</tex> мест. Тогда <tex dpi = "150">C^{k}_n = \frac{A^{k}_n}{k!} = \frac{n!}{k!(n - k)!}</tex>. === Сочетания с повторениями ==='''Сочетания с повторениями''' — это те же сочетания, только теперь даны <tex>n</tex> типов элементов, из которых нужно выбрать <tex>k</tex> элементов, причем элементов каждого типа неограниченное количество. Способов таких выборов всего <tex dpi = "150">\tilde{\sf_C}^k_n = \frac{(n + k - 1)!}{k!(n - 1)!} = C^k_{n + k - 1}</tex>.
=== Разбиение на неупорядоченные слагаемые ===
=== Разбиение на подмножества ===
[[Числа Стирлинга первого второго рода | '''Разбиение''' множества <math>X</math> '''на подмножества''']] — это семейство непустых множеств <math>\{U_{\alpha}\},{\alpha \in A}</math>, где <math>A</math> — некоторое множество индексов, если:
# <math>U_{\alpha} \cap U_{\beta} = \emptyset</math> для любых <math>\alpha, \beta \in A</math>, таких что <math>\alpha \not= \beta</math>;
# <math>X = \bigcup\limits_{\alpha \in A} U_{\alpha}</math>.
