Примеры сведения к задачам поиска потока — различия между версиями
Sultazat (обсуждение | вклад) (→Пример №1) |
Sultazat (обсуждение | вклад) м (→Пример №1) |
||
| Строка 15: | Строка 15: | ||
</includeonly> | </includeonly> | ||
[[Файл:Monster.png|right|Пример поля]] [[Файл:MonsterSolution.png|right|Решение текущего примера]] | [[Файл:Monster.png|right|Пример поля]] [[Файл:MonsterSolution.png|right|Решение текущего примера]] | ||
| − | + | Сразу скажем, что выбраться за пределы поля эквивалентно тому, что монстр может дойти до какой-либо крайней клетки. | |
Покажем то, что минимальное количество клеток, которое нужно закрасить, равно максимальному количеству клеточно-непересекающихся путей из позиции монстра до крайних клеток поля. Очевидно, что ответ не больше, чем количество всех путей от монстра до крайних клеток. Сделаем ещё более строгое неравенство: ответ не больше, чем максимальное количество клеточно-непересекающихся путей, т.к. если мы возьмём какие-нибудь 2 пересекающихся пути и закрасим клетку в позиции, где они пересекаются, то мы блокируем путь монстру сразу по 2 этим путям. С другой стороны, если мы закрасим клетку на каком-то из путей, то у нас блокируется только этот путь, т.к. мы взяли клеточно-непересекающиеся пути. Значит, ответ не меньше, чем количество таких путей. В итоге получаем то, что и хотели доказать. | Покажем то, что минимальное количество клеток, которое нужно закрасить, равно максимальному количеству клеточно-непересекающихся путей из позиции монстра до крайних клеток поля. Очевидно, что ответ не больше, чем количество всех путей от монстра до крайних клеток. Сделаем ещё более строгое неравенство: ответ не больше, чем максимальное количество клеточно-непересекающихся путей, т.к. если мы возьмём какие-нибудь 2 пересекающихся пути и закрасим клетку в позиции, где они пересекаются, то мы блокируем путь монстру сразу по 2 этим путям. С другой стороны, если мы закрасим клетку на каком-то из путей, то у нас блокируется только этот путь, т.к. мы взяли клеточно-непересекающиеся пути. Значит, ответ не меньше, чем количество таких путей. В итоге получаем то, что и хотели доказать. | ||
Версия 06:35, 25 декабря 2016
Пример №1
| Задача: |
| Дано поле размером N * M, некоторые клетки поля закрашены. В одной из незакрашенных клеток поля стоит монстр, он умеет ходить только по незакрашенным клеткам (из текущей клетки он может пойти только в ту клетку, с которой имеет общую сторону). Какое минимальное количество клеток нужно закрасить, чтобы монстр не смог выбраться за пределы поля? |
Сразу скажем, что выбраться за пределы поля эквивалентно тому, что монстр может дойти до какой-либо крайней клетки.
Покажем то, что минимальное количество клеток, которое нужно закрасить, равно максимальному количеству клеточно-непересекающихся путей из позиции монстра до крайних клеток поля. Очевидно, что ответ не больше, чем количество всех путей от монстра до крайних клеток. Сделаем ещё более строгое неравенство: ответ не больше, чем максимальное количество клеточно-непересекающихся путей, т.к. если мы возьмём какие-нибудь 2 пересекающихся пути и закрасим клетку в позиции, где они пересекаются, то мы блокируем путь монстру сразу по 2 этим путям. С другой стороны, если мы закрасим клетку на каком-то из путей, то у нас блокируется только этот путь, т.к. мы взяли клеточно-непересекающиеся пути. Значит, ответ не меньше, чем количество таких путей. В итоге получаем то, что и хотели доказать.
Рассмотрим сеть, в которой вершинам будут соответствовать незакрашенные клетки поля, соседние незакрашенные клетки соединим ориентированными рёбрами с пропускной способностью 1. В качестве истока возьмём вершину, которой соответствует клетка монстра. Добавим в граф ещё одну вершину - сток, добавим рёбра из вершин, соответствующим крайним клеткам поля, в сток с пропускной способностью 1. Чтобы пути клеточно-непересекались, раздвоим каждую вершину графа на 2 вершины: в одну будут только входить рёбра, из другой - только выходить рёбра, и сами эти вершины соединим ребром с пропускной способностью 1.
Используя алгоритм Диница, найдём максимальный поток в сети. Согласно теореме о декомпозиции, нахождение максимального потока эквивалентно тому, что мы нашли максимальное количество путей из истока в сток. Т.е. требуемый ответ на задачу равен максимальному потоку.
