Изменения

{{Утверждение|statement=Матрица перестановок <tex>n</tex>-го порядка может быть представлена в виде произведения <tex>(n - 1)</tex> элементарных матриц перестановок(<tex>{n > 2}</tex>).|proof=Обозначим <tex>{t}_{ij}</tex> - элементарную матрицу, полученную из единичной путем изменения <tex>i</tex> - й и <tex>j</tex> - й строк. Рассмотрим матрицу перестановок <tex> P = \begin {pmatrix} {a}_{11} & {a}_{12} & ... & {a}_{1n}\\{a}_{21} & {a}_{22} & ... & {a}_{2n}\\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\{a}_{n1} & {a}_{n2} & ... & {a}_{nn}\end {pmatrix}</tex>  Возьмем <tex> {{a}_{ij} \ne 0} </tex> и перестановками строк (домножением соответствующей элементарной матрицей слева) и столбцов (домножением соответствующей элементарной матрицей справа) перемещаем его на первое место. Делим первую строку на этот элемент. Получим: <tex> \begin {pmatrix} 1 & {a}_{12}' & ... & {a}_{1n}'\\{a}_{21}' & {a}_{22}' & ... & {a}_{2n}'\\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\{a}_{n1}' & {a}_{n2}' & ... & {a}_{nn}'\end {pmatrix}</tex> Вычтем теперь из <tex>i</tex> - й строки 1-ю, умноженную на число <tex> {a}_{i1}', i = 2\ ...\ n </tex>. Затем вычтем из <tex>j</tex> - го столбца 1-й, умноженный на число <tex> {a}_{1j}', j = 2\ ...\ n </tex>. В результате получим матрицу <tex> \begin {pmatrix} 1 & 0 & ... & 0\\0 & {a}_{22}'' & ... & {a}_{2n}''\\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\0 & {a}_{n2}'' & ... & {a}_{nn}''\end {pmatrix}</tex> и так далее, пока не получится единичной матрицы. В итоге: <tex> t_1 ... t_kAt_{k+1} ... t_{k+l} = E </tex>.  Все элементарные матрицы обратимы и обратная к элементарной матрице --- это тоже элементарная матрица, следовательно: <tex> A = t_k^{-1} ... t_1^{-1}Et_{k+l}^{-1} ... t_{k+1}^{-1} = t_k^{-1} ... t_1^{-1}t_{k+l}^{-1} ... t_{k+1}^{-1} </tex>.