Определение сети, потока

Определение сети

Определение:

Сетью называется взвешенный ориентированный граф [math]G=(V,E,c)[/math], где [math]c\colon E\to R[/math] - весовая функция.

Определение:

Транспортная сеть (flow network) [math]G=(V,E)[/math] представляет собой ориентированный граф, в котором каждое ребро [math](u,v)\in E[/math] имеет неотрицательную пропускную способность (capacity) [math]c(u,v)\gt 0[/math]. Если [math](u,v)\notin E[/math], предполагается что [math]c(u,v)=0[/math]. В транспортной сети выделяются две вершины: источник [math]s[/math] и сток [math]t[/math].

Определение потока

Определение:

Потоком (flow) [math]f[/math] в [math]G[/math] является действительная функция [math]f\colon V\times V\to R[/math], удоволетворяющая условиям: 1) [math]f(u,v)=-f(v,u)[/math] (антисимметричность); 2) [math]f(u,v)\le c(u,v)[/math] (ограничение пропускной способности), если ребра нет, то [math]c(u,v)=0[/math]; 3) [math]\sum\limits_v f(u,v)=0[/math] для всех вершин [math]u[/math], кроме [math]s[/math] и [math]t[/math] (закон сохранения потока). Величина потока [math]f[/math] определяется как [math]|f|=\sum\limits_{v\in V} f(s,v)[/math].

Альтернативное определение (по Асанову):

Определение:

Потоком [math]f[/math] в сети [math]G=(V,E,c)[/math] называется функция [math]f\colon E\to R[/math], удоволетворяющая условиям: 1) [math]0\le f(e)\le c(e)[/math] для всех [math]e\in E[/math]; 2) [math]f(v-) = f(v+)[/math] для всех [math]v\in V, v\ne s, v\ne t[/math], где [math]f(v-)=\sum\limits_{w\in v-} f(w,v), f(v+)=\sum\limits_{w\in v+} f(v,u)[/math]. Здесь [math]s[/math] - источник, а [math]t[/math] - сток сети [math]G[/math] ([math]s[/math] имеет нулевую степень захода, а [math]t[/math] имеет нулевую степень исхода); через [math]v+[/math] обозначено множество вершин, к которым идут дуги из вершины [math]v[/math]; через [math]v-[/math] обозначено множество вершин, из которых идут дуги в вершину [math]v[/math]; [math]c(e)[/math] называется пропускной способностью дуги [math]e[/math] и неотрицательно.

Число [math]f(v,w)[/math] можно интерпретировать, например, как количество жидкости, поступающей из [math]v[/math] в [math]w[/math] по дуге [math](v,w)[/math]. С этой точки зрения значение [math]f(v-)[/math] может быть интерпретировано как поток, втекающий в вершину [math]v[/math], а [math]f(v+)[/math] - вытекающий из [math]v[/math]. Условие 1) называется условием ограничения по пропускной способности, а условие 2) - условием сохранения потока в вершинах; иными словами, поток, втекающий в вершину [math]v[/math], отличную от [math]s[/math] или [math]t[/math], равен вытекающему из неё потоку.