Поток минимальной стоимости

Задача о потоке минимальной стоимости

Определение:

Пусть дана сеть [math]G(V,E)[/math]. [math]S, T \in V[/math] — источник и сток. [math]\forall (u,v) \in E[/math] [math]\exists c(u, v), f(u,v)[/math] — стоимость пересылки единицы потока и пропускная способность. Тогда общая стоимость потока из [math]S[/math] в [math]T[/math]: [math]p(u,v) = \sum\limits_{u,v \in V, f(u,v)\gt 0} c(u,v) \cdot f(u,v)[/math]

Свойства стоимости

• Поток не может превысить пропускную способность.

[math]f(u,v) \leqslant c(u,v)[/math]

• Поток из [math]u[/math] в [math]v[/math] должен быть противоположным потоку из [math]v[/math] в [math]u[/math].

[math]f(u, v)=-f(v, u)[/math]

• Сохранение потока. Для каждой вершины, сумма входящего и исходящего потоков равно [math]0[/math].

[math] \sum\limits_{w \in V} f(u,w) = 0[/math]

Задача:

Дана сеть [math]G(V,E)[/math]. [math]S, T \in V[/math] — источник и сток. [math]\forall (u,v) \in E[/math] [math]\exists c(u, v), f(u,v)[/math] — стоимость пересылки единицы потока и пропускная способность. Требуется найти максимальный поток, суммарная стоимость которого минимальна.

Алгоритмы решения

Метод устранения отрицательных циклов в остаточной сети

Воспользуемся леммой об эквивалентности свойства потока быть минимальной стоимости и отсутствии отрицательных циклов в остаточной сети. Получим следующий алгоритм:

Алгоритм

• Начало.
• Шаг 1. Требуется найти максимальный поток минимальной стоимости.
• Шаг 2. Для каждого ребра зададим поток равный [math]0[/math].
• Шаг 3. Построим остаточную сеть [math]G_f[/math].
• Шаг 4. При помощи алгоритма Форда-Беллмана найдем отрицательные циклы в остаточной сети (но разве можно найти все циклы сразу?). Если нет — перейдем к шагу 7.
• Шаг 5. Выберем один из отрицательных циклов.
• Шаг 6. Избавимся от отрицательного цикла, для этого пустим по нему максимально возможный поток. Перейдем к шагу 5 (но ведь остаточная сеть изменилась и могли появиться новые циклы, которые надо ещё найти).
• Шаг 7. Отрицательных циклов в остаточной сети нет, значит, максимальный поток минимальной стоимости найден.
• Конец.

Асимптотика

Алгоритм Форда-Беллмана работает за [math]O(VE)[/math]. Нахождение максимального потока и улучшение цикла работает за [math]O(E)[/math]. В итоге имеем [math]O(V E^2)[/math].

См. также

• Сведение задачи о назначениях к задаче о потоке минимальной стоимости
• Венгерский алгоритм решения задачи о назначениях

Источники информации

• Википедия — Поток минимальной стоимости
• Визуализатор алгоритма нахождения максимального потока минимальной стоимости
• Хабрахабр — Максимальный поток минимальной стоимости
• Кормен, Томас Х., Лейзерсон, Чарльз И., Ривест, Рональд Л., Штайн Клиффорд Алгоритмы: построение и анализ, 2-е издание. Пер. с англ. — М.:Издательский дом "Вильямс", 2010. — 1296 с.: ил. — Парал. тит. англ. — ISBN 978-5-8459-0857-5 (рус.)